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时间:2020-07-04
《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件教学案 北师大版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2充分条件与必要条件充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主.当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫洛孝拿出自己私留的20两银子.两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去.设:A:洛孝主动归还所拾银两.B:洛孝无赖银之情.C:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子.D:洛孝所拾银子不是失主所丢.问题1:县官得到结论B的依据是什么?它是B的什么条件?提示:A,充分条件.问题2:县官由C得出什么结论?
2、它是C的什么条件?提示:D,必要条件.充分条件和必要条件如果“若p,则q”形式的命题为真命题,即p⇒q,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.充要条件已知:p:前年在伦敦举行第30届夏季奥运会.q:前年是2012年.问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,充分条件.问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,必要条件.问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件?提示:充要条件,充要条件.充要条件(1)如果既有p⇒q,又有q⇒p,通常记作p⇔q,则称p是q的充分必要条
3、件,简称充要条件.(2)p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立.(3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题.(4)若p⇒q,但q⇒/p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则q”与“若q,则p”进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必要条件.充分条件、必要条件
4、的判断[例1] 下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:a,b,c三数成等比数列,q:b=;(2)p:y+x>4,q:x>1,y>3;(3)p:a>b,q:2a>2b;(4)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.[思路点拨] 可先看p成立时,q是否成立,再反过来若q成立时,p是否成立,从而判定p,q间的关系.[精解详析] (1)若a,b,c成等比数列,则b2=ac,b=±,则p⇒/q;若b=,当a=0,b=0时,a,b,c不成等比数列,即q⇒/p,故p是q的既不充分也不必要条件.(2)y+x>4不能得出x>1
5、,y>3,即p⇒/q,而x>1,y>3可得x+y>4,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)当a>b时,有2a>2b,即p⇒q,当2a>2b时,可得a>b,即q⇒p,故p是q的充要条件.(4)法一:若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形,即p⇒/q;若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形,即q⇒/p,故p是q的既不充分也不必要条件.法二:如图所示:p,q对应集合间无包含关系,故p是q的既不充分也不必要条件.[一点通] 充分必要条件判断的常用方法:(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断.(2
6、)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断.(3)集合法:设A={x
7、p(x)},B={x
8、q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.①若AB,则p是q的充分不必要条件;②若BA,则p是q的必要不充分条件;③若A=B,则p是q的充要条件;④若A⃘B且B⃘A,则p是q的既不充分又不必要条件.1.设集合A={x
9、≤0},集合B={x
10、
11、x-2
12、≤1},那么“m∈A”是“m∈B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:集合A={x
13、0≤x<3},集合
14、B={x
15、1≤x≤3},则由“m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”,故选D.答案:D2.对任意实数a,b,c给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中,真命题的序号是________.解析:①由a=b可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,②为真命题;③由“a>
16、b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,③为假命题;④“由a<5”不能得“a<3”,而由“a<3”可得“a<5”,④为真命题.答案:②④3.指出下列各组命题中p是q的什么条件,q是p的什么条件,并说明理由.(1)p:
17、x
18、=
19、y
20、,q:x=y;(2)在△ABC中,p:sinA>,q:A>.解:(1)
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