高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件教学案 北师大版选修.doc

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1、§2充分条件与必要条件充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件．问题2：县官由C得出什么结论？

2、它是C的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．q：前年是2012年．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条

3、件，简称充要条件．(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．(4)若p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．充分条件、必要条件

4、的判断[例1]　下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨]　可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．[精解详析]　(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p⇒/q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q⇒/p，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x>4不能得出x>1

5、，y>3，即p⇒/q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/p，故p是q的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．[一点通]　充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2

6、)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．(3)集合法：设A＝{x

7、p(x)}，B＝{x

8、q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若BA，则p是q的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分又不必要条件．1．设集合A＝{x

9、≤0}，集合B＝{x

10、

11、x－2

12、≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：集合A＝{x

13、0≤x＜3}，集合

14、B＝{x

15、1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.答案：D2．对任意实数a，b，c给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中，真命题的序号是________．解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>

16、b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④为真命题．答案：②④3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．(1)p：

17、x

18、＝

19、y

20、，q：x＝y；(2)在△ABC中，p：sinA＞，q：A＞.解：(1)