高中数学 第一章 导数及其应用小结与复习(2)教案 新人教A版选修.doc

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1、第一章导数及其应用教学目的:提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力授课类型:复习课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、讲解范例:例1求下列函数的最大值和最小值.(1)y=;(2)y=x;(3)y=,x∈[0,4];(4)y=sin2x-x,x∈[-,](1)解:y′=()′令y′==0,解得x1=-1,x2=1当x=-1时,y

2、x=-1==-2;当x=1时,y

3、x=1==2∴当x=1时,y有最大值,且y最大值=2当x=-1时,y有最小值,且y最小值=-2.(2)解:∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1y′=(x)′=+x·令y′==0解得x1=-,x2

4、=当x=-时,当x=]时,当x=-1时,y=-1×=0当x=1时,y=1×=0∴当x=时,y有最大值,且y最大值=当x=-时,y有最小值,且y最小值=-.(3)解:y′=()′=令y′=0解得x1=1+,x2=1-(舍去)当x=0时,y==-1当x=1+时,y=当x=4时,∵∴∴当x=1+时,y有最大值,且y最大值=当x=0时,y有最小值,且y最小值=-1(4)解:y′=(sin2x-x)′=2cos2x-1令2cos2x-1=0,cos2x=∵x∈[-,],∴2x∈[-π,π]∴2x=-或,∴x1=-,x2=.当x=-时,y=sin(-π)+=当x=-时,y=sin(-)+=-

5、+当x=时,y=sin-=-当x=时,y=sinπ-=-∵>->-+>-∴当x=-时,y有最大值,且y最大值=,当x=时,y有最小值,且y最小值=-.例2已知f(x)=x3+ax2+bx,在x=1处有极值-2,求a、b的值.解:f′(x)=(x3+ax2+bx)′=3x2+2ax+b∵f(x)在x=1处有极值-2∴f′(1)=0,且f(1)=-2∴例3如图,两个工厂A、B相距0.6km,变电站C距A、B都是0.5km,计划铺设动力线,先由C沿AB的垂线至D,再与A、B相连,D点选在何处时,动力线最短?解:设CD⊥AB,垂足为E,DE的长为xkm.由AB=0.6,AC=BC=0.5

6、,得AE=EB=0.3.∴CE==0.4∴CD=0.4-xAD=BD=∴动力线总长l=AD+BD+CD=2+0.4-x.令l′=2·即2x-=0,解得x=≈0.17(∵x>0)当x<时l′<0,当x>时l′>0∴l在x=≈0.17时有最小值.答:D点选在距AB0.17km处时,动力线最短.例4已知等腰梯形的下底为1,底角为α,梯形的对角线垂直于腰.(1)把梯形的面积表示成α的函数.(2)当α为何值时梯形的面积最大.(1)解:如图,等腰梯形ABCD,CD=1,DB⊥BC,BE⊥CD,AF⊥CD.Rt△DBC中,BC=1·sinα=sinα.Rt△BEC中,BE=BC·cosα=si

7、nα·cosα=sin2α.CE=BC·sinα=sinα·sinα=sin2α.∴AB=1-2sin2α.∴梯形的面积S=(AB+CD)·BE=(1-2sin2α+1)·sin2α=(1-sin2α)sin2α=cos2αsin2α.即S=cos2αsin2α.(2)解:令S′=·2cosα(-sinα)sin2α+cos2αcos2α·2=-sin22α+cos2αcos2α=-sin22α+(cos2α+1)cos2α=-sin22α+cos22α+cos2α=-(1-cos22α)+cos22α+cos2α=cos22α+cos2α-=0解得cos2α=或cos2α=-1

8、∵0<α<,∴0<2α<π,∴cos2α=-1(舍去)∴cos2α=,2α=,α=.当0<α<时,S′>0.当<α<时,S′<0.∴S当α=时有最大值.∴当α=时,梯形的面积最大.例5在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂,工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料,公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3,为节约运费,在铁路的D处修一货物转运站,设AD距离为x千米,沿CD直线修一条公路(如图).(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.(2)当x为何值时运费最省?解:(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x,则DB

9、=100-x.∴每吨货物运费y=(100-x)·3k+·5k(元)(2)令y′=-3k+5k··k=0∴5x-3=0∵x>0,∴解得x=15当015时,y′>0∴当x=15时,y有最小值.答:当x为15千米时运费最省三、课堂练习:1.设y=loga(a>0,a≠1),则y’=()A.B.lnaC.—logaeD.logae2.设函数f(x)=e2x—2x,则=()A.0B.1C.2D.43.函数y=的导数是()A.—B.C.—D.—4.若函数y=x·

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