高中数学 第一章 导数及其应用小结与复习（2）教案 新人教a版选修2-2

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1、第一章导数及其应用教学目的：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解范例：例1求下列函数的最大值和最小值.(1)y=;(2)y=x;(3)y=，x∈［0，4］;(4)y=sin2x－x，x∈［－，］(1)解：y′=()′令y′==0，解得x1=－1，x2=1当x=－1时，y

2、x=－1==－2;当x=1时，y

3、x=1==2∴当x=1时，y有最大值，且y最大值=2当x=－1时，y有最小值，且y最小值=－2.(2)解：∵1－x2≥0，∴

4、－1≤x≤1y′=(x)′=+x·令y′==0解得x1=－，x2=当x=－时，当x=]时，当x=－1时，y=－1×=0当x=1时，y=1×=0∴当x=时，y有最大值，且y最大值=当x=－时，y有最小值，且y最小值=－.(3)解：y′=()′=令y′=0解得x1=1+，x2=1－(舍去)当x=0时，y==－1当x=1+时，y=当x=4时，∵∴∴当x=1+时，y有最大值，且y最大值=当x=0时，y有最小值，且y最小值=－1(4)解：y′=(sin2x－x)′=2cos2x－1令2cos2x－1=0，cos2x=∵x∈［－

5、，］，∴2x∈［－π，π］∴2x=－或，∴x1=－，x2=.当x=－时，y=sin(－π)+=当x=－时，y=sin(－)+=－+当x=时，y=sin－=－当x=时，y=sinπ－=－∵>－>－+>－∴当x=－时，y有最大值，且y最大值=，当x=时，y有最小值，且y最小值=－.例2已知f(x)=x3+ax2+bx，在x=1处有极值－2，求a、b的值.解：f′(x)=(x3+ax2+bx)′=3x2+2ax+b∵f(x)在x=1处有极值－2∴f′(1)=0，且f(1)=－2∴例3如图，两个工厂A、B相距0.6km，变电

6、站C距A、B都是0.5km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在何处时，动力线最短？解：设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为xkm.由AB=0.6，AC=BC=0.5，得AE=EB=0.3.∴CE==0.4∴CD=0.4－xAD=BD=∴动力线总长l=AD+BD+CD=2+0.4－x.令l′=2·即2x－=0,解得x=≈0.17(∵x>0)当x<时l′<0,当x>时l′>0∴l在x=≈0.17时有最小值.答：D点选在距AB0.17km处时，动力线最短.例4已知等腰梯形的下底为1，底角为α，梯

7、形的对角线垂直于腰.(1)把梯形的面积表示成α的函数.(2)当α为何值时梯形的面积最大.(1)解：如图，等腰梯形ABCD，CD=1，DB⊥BC，BE⊥CD，AF⊥CD.Rt△DBC中，BC=1·sinα=sinα.Rt△BEC中，BE=BC·cosα=sinα·cosα=sin2α.CE=BC·sinα=sinα·sinα=sin2α.∴AB=1－2sin2α.∴梯形的面积S=(AB+CD)·BE=(1－2sin2α+1)·sin2α=(1－sin2α)sin2α=cos2αsin2α.即S=cos2αsin2α.(

8、2)解：令S′=·2cosα(－sinα)sin2α+cos2αcos2α·2=－sin22α+cos2αcos2α=－sin22α+(cos2α+1)cos2α=－sin22α+cos22α+cos2α=－(1－cos22α)+cos22α+cos2α=cos22α+cos2α－=0解得cos2α=或cos2α=－1∵0<α<，∴0<2α<π,∴cos2α=－1(舍去)∴cos2α=，2α=，α=.当0<α<时，S′>0.当<α<时，S′<0.∴S当α=时有最大值.∴当α=时，梯形的面积最大.例5在长为100千米的

9、铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.(2)当x为何值时运费最省？解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100－x.∴每吨货物运费y=(100－x)·3k+·5k(元)(2)令y′=－3k+5k··k=0∴5x－3=0∵x>0，∴解得x=1

10、5当015时，y′>0∴当x=15时，y有最小值.答：当x为15千米时运费最省三、课堂练习：1．设y=loga(a>0,a≠1)，则y’=()A.B.lnaC.—logaeD.logae2．设函数f(x)=e2x—2x，则=（）A.0B.1C.2D.43．函数y=的导数是（）A.—B.C.—D.—4．若函数y=x·