高中数学 第1章 坐标系 1.3 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修.doc

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1、1.3　柱坐标系和球坐标系1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)教材整理1　柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系如图131，建立空间直角坐标系Oxyz.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π

2、，－∞＜z＜＋∞.图131特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面.2.球坐标系设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图132).这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ

3、≤π，0≤θ＜2π.图132特别地，r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.(　　)(2)在柱坐标系M(r，θ，z)中，θ表示OM与y轴所成的角.(　　)(3)球坐标中，r表示OM的长度.(　　)【解析】　(1)√　柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.(2)×　θ表示OM与x轴所成的角.(3)√　球坐标中r表示OM的长度.【答案】　(1)√　(2)×

4、　(3)√教材整理2　空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x，y，z)填空：(1)柱坐标的直角坐标是________.(2)球坐标的直角坐标是________.【解析】　(1)x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝1.所以的直角坐标是(1，，1).(2)x＝4×sin×cos＝，y＝4×sin×sin＝，z＝4cos＝2.∴的直角坐标是(，，2).【答案】　(1)(1,，1)　(2)(，，2)预习完成后，请

5、将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：把点的柱坐标化为直角坐标　根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标.(1)；(2).【精彩点拨】　【自主解答】　设点的直角坐标为(x，y，z).(1)∵(r，θ，z)＝，∴∴(－，1,3)为所求.(2)∵(r，θ，z)＝，∴∴(1,1,5)为所求.点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z为任意实数.化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化

6、为三角函数的求值与运算即得.1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.(1)；(2)(1，π，0).【解】　设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)∵(r，θ，z)＝，∴∴(，1,1)为所求.(2)∵(r，θ，z)＝(1，π，0)，∴∴(－1,0,0)为所求.把点的球坐标化为直角坐标　把下列各点的球坐标化为直角坐标.(1)；(2).【精彩点拨】　【自主解答】　设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)∵(r，φ，θ)＝，∴∴(－1，－1，－)为所求.(2)∵(r，φ，θ)＝，∴∴为所求.首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角

7、φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.(1)；(2)(3，π，π).【解】　设点的直角坐标为(x，y，z).(1)∵(r，φ，θ)＝，∴∴为所求.(2)∵(r，φ，θ)＝(3，π，π)，∴∴(0,0，－3)为所求.化点的坐标为柱坐标或球坐标探究1　空间中点的坐标有三种形式：直角坐标、柱坐标和球坐标，它们各有何特点？【提示】　设空间中点M的直角坐

8、标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角.探究2　在空间的柱坐标系中，方程r＝r0(r0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？【提示】　在空间的柱坐标系中，方程r＝r0表示中心轴为z轴，底半径为