【名校】重庆市南开中学高三数学归纳法、极限、导数专题解析新人教版.doc

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1、数学归纳法、极限、导数数学归纳法一、回归课本1、数学归纳法的步骤：（1）验证取第一个值时成立；（2）假设n=k（）时命题成立，并从假设出发，推证得n=k+1时命题也成立；（3）综上所述，命题对一切的正整数n都成立。2、证明过程中要注意书写、表述要完整、规范。三个步骤缺一不可，证明中的关键和难点在第二步，其中的归纳假设起着已知条件的作用，在n=k+1步中一定要用到，否则就不叫数学归纳法。第二步证明时，还要注意弄清n=k到n=k+1步命题的变化情况。3、数学归纳法适用于一些与自然数n有关的命题以及一些数列相关问题。二、典型例题：例一：（数

2、学归纳法证等式）（1）求证：，（2），（3）数列中，，前项和为，求证。例二：（数学归纳法证不等式）用心爱心专心（1），。（2）设数列满足，证明对一切正整数n成立；例三：（数学归纳法证整除性问题）（1）设，证明除以20的余数为9。（2）已知，，，设求证：。例四：设数列满足，用心爱心专心（1）求；（2）求数列的通项公式。例五：平面上有n条直线，它们任意两条不平行，任意三条不共点，求证：这n条直线将平面分成个部分。极限与函数的连续性一、回归课本1、数列的极限：（1）定义：如果当项数n无限增大时，无穷数列的项无限接近某个常数a，（即无限接近0

3、），那么就说数列的极限是a，记作。（2）数列极限的运算法则：若。则（3）几个重要极限：，，，用心爱心专心（4）无穷递缩等比数列各项和：2、函数的极限：（1）时函数的极限当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是.记作：。当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是a.记作如果且，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作：常用结论：，（2）时函数的极限当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋

4、向时，函数的极限是，记作表示当从左侧趋近于时的左极限表示当从右侧趋近于时的右极限3、函数的连续性：函数在点处连续（1）有意义，（2）存在，（3）初等函数在其定义域内处处连续，即在每一点处的极限值都等于该点的函数值。用心爱心专心二、典型例题：例一：求以下数列的极限。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例二：已知，求a和b的值。用心爱心专心例三：已知函数f(x)的反函数为g(x)，点，在曲线y=g(x)上，且。（1）证明：数列为等差数列；（2）设，求的值。例四：在边长为a的正方形ABCD内作内接正方形，再在正方形内作内接正方形，．．

5、．，使正方形的一边与正方形的夹角为，求所有这些正方形面积之和。例五：求下列函数的极限。（1）（2）（3）（4）用心爱心专心（5）例六：若，求a，b的值。例七：设函数。（1）若在x=0处极限存在，求实数a，b；（2）若在x=0处连续，求实数a，b。导数及其应用一、回归课本：1、导数定义：当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量用心爱心专心，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2、导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数

6、,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝。3、导数的几何意义：曲线上点（）处的切线的斜率。4、求导数的方法。（1）定义法；（2）几个初等函数导数；（3）导数的四则运算；（4）复合函数导数。5、导数运用：（1）单调性：.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的取值区间就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的取值区间就是递减区间.（2）极值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有（或），就说是函数f(x)的一个极大值（或极小值

7、），记作（或），x0是极大值点（或极小值点）；求极值的步骤：①求导数f′(x)②求方程f′(x)=0的根③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值（3）最值：设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值用心爱心专心二、典型例题：例一、求下列函数的导数：（

8、1）（2）（3）（4）例二：已知函数在处取得极值.讨论和是函数的极大值还是极小值；例三：已知函数的图像在点处的切线为。（1）求函数及单调区间；（2）求函数在区间上的最值。例四：设,求函数的单调区间.用心爱心专心例五：已知