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《【名校】重庆市南开中学高三数学向量解决立体几何专题解析新人教版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、用向量知识解决立体几何中典型问题空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题，下面就谈一谈向量知识在立体几何中运用。一、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。线面角：方法点评：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为与法向量成角的余角。即例1：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABC
2、D，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小.ABCDEFxyzP（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，.由，得，即，同理，又，所以，EF平面PAB.（注：此小问所用即向量法证明线面垂直）（Ⅱ）解：由，得，即.得，，.有，，.设平面AEF的法向量为，由，解得.于是.用心爱心专心设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为.则.所以，AC与平面AEF所成角的大小为.二面角：方法：设是二面
3、角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。例2：如图,在直四棱柱中,已知,,.(I)设是的中点,求证:;(II)求二面角的余弦值.解:(I)连结，则四边形为正方形，，且，为平行四边形，.（另：向量法证明线面平行：易得，可求得面的一个法向量为，由，又，所以）(II)以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则设为平面的一个法向量，用心爱心专心由得，取，则.设为平面的一个法向量，由得，取,则.由图知该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为二、利用向量知识求点到面，线到面，面到面的距离（后两者均可转化为点面距离）方法：如右图求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知
4、点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离例3：如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）（Ⅲ）求点E到平面的距离.（）(I)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.∴AO平面BCD.（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),用心爱心专心∴∴异面直线AB
5、与CD所成角的大小为（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为=(x,y,z),则∴令y=1，得=(-)是平面ACD的一个法向量.又∴点E到平面ACD的距离h=（注：考试中的点面距离大都可以使用等体积法简单求得）例4：如图，在长方体中，求平面的距离。解：，同理，建立如图直角坐标系，,设为平面的法向量，则，不妨设设两平行平面间的距离为则等于到平面的距离三、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。例5:如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，P
6、C⊥平面BMD.用心爱心专心平面又，，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，设，由于三点共线，得，即由对应系数成比例有，则（这里揭示出了设线上一点的方法）平面，，得，所以。，故则M点是靠近C点的三等分点。提醒：向量法特别要注意运算问题，在得点坐标、计算法向量、数量积、模的时候一定要小心。用心爱心专心
