高三数学空间向量和立体几何专题

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1、高三数学第二轮专题复习系列(8)--空间向量、立体几何一、大纲解读立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何．其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等.其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点.对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二、高考预测一般来说立

2、体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20-25分，占整章试卷的15％.选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题.三．重点剖析立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直观图，平面的基本性质，空间线面位置关系，空间向量的基本问题，空间向量与立体几何

3、，特别是用空间向量解决立体几何中的线面平行与垂直的证明，求解异面直线所成的角、二面角、线面角，以及简单的距离计算．重点一：空间几何体的三视图、体积与表面积【例1】一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（）A.B.C.D.【分析】根据三个试图可以知道这个几何体是一个一条侧棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱锥。【解析】该几何体是底面两直角边长分别是的直角三角形，高为的三棱锥，故其体积为。【点评】主试图和侧视图的高就是实际几何体的高。【例2】已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图

4、中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（）A.B.C.D.【分析】这个空间几何体是一个圆锥和一个半球组成的组合体，把其中的数量关系找出来按照圆锥和球的体积计算公式计算就行．【解析】A这个几何体是一个底面半径为，高为的圆锥和一个半径为的半球组成的组合体，故其体积为．【点评】空间几何体的三视图是课标高考的一个考点，主要考查方式之一就是根据三视图还原到原来的空间几何体，并进行有关的计算．重点二：空间点、线、面位置关系的判断【例3】已知、是不重合的直线，和是不重合的平面，有下列命题：（1）若，∥，则∥；（2）若∥，∥，则∥；（3）若，∥，则

5、∥且∥；（4）若，，则∥其中真命题的个数是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3【分析】（1）是假命题，如果一条直线平行于一个平面，该直线不与平面内所有直线平行，只与部分直线平行；（2）是假命题，平行于同一直线的两平面的位置关系不确定；（3）是假命题，因为可能为和内的直线，则∥且∥不一定成立；（4）是真命题，垂直于同一直线的两平面平行。【解析】选Ｂ。【点评】本题考查的是有关线面关系命题的真假，所以通过利用定理来解决上述有关问题。【例4】在下列关于直线、与平面和的命题中，真命题的是（）Ａ．若且，，则；Ｂ．若且∥，则；Ｃ．若且，则∥；Ｄ．若且∥，则∥【分析】高

6、考中通常以选择或填空的形式来考查垂直关系的判定。显然是错误的；中可在平角内，故∥错误；中可在平角内，故∥错误；【解析】选。【点评】该题主要考查的是想象能力和位置关系。【例5】正方体中，对角线平面=，和交于点，求证：点、、共线。【分析】要证明若干点共线问题，只需要证明这些点同在两个相交平面内即可。【证明】如图所示，由∥，则确定平面。平面，，平面。又平面=，平面。在平面与平面的交线上。又，平面平面=，，即、、三点共线。【点评】该题的考向是点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样就可以根据公理2证明这些点都是在这两个平面的交线上。重

7、点三：空间线面位置关系的证明和角的计算【例6】是边长为正方体，计算下列问题：（1）与所成角的大小；（2）若、、、为对应棱的中点，求，所成的角。【分析】该题可以采用平移法，即将，平移到和即可。【解析】（1）连，则∥，所以，则，即与所成角为；（2）连，，则∥，∥，即为和所成的角，因为为正三角形，=，即和所成的角为。图2【点评】掌握此类基本题的解法，也是反映同学们的立体几何基础。【例7】如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，．，点在棱上，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）求证：∥平面；（3）（理）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）根据

8、两个平面垂直的判定定理，寻找一个面对一条直线垂直于另一个平面；（2）根据线面平行的判定定理，寻找线线平行；（3）可以利用传统的方法作出二