二重积分的计算1北工大.ppt

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1、四、二重积分的计算1定理1若函数在闭矩形域可积，且存在，则累次积分也存在，且1证明设区间　　　与　　　的分点分别是这个分法记为　，把闭矩形域R分成个小闭矩形，小闭矩形记为设有2一元函数　　　　在　　　　可积，有将不等式对　　　　　　相加，有其中3此不等式乘以再对　　　　　　相加，有即由函数　　　　在R可积，有4若函数在闭矩形域可积，且存在，则累次积分也存在，且52推论1若函数在[a,b]可积，函数在[c,d]可积，则乘积函数在闭矩形域也可积，且6证明将函数都看作二元函数,在R上可积，乘积　　　　　也

2、在R可积．则7例计算二重积分　　　　，其中例计算曲顶柱体的体积，其底是正方形区域其顶是定义在R上的曲面　　　　　　　是常数）．8例若函数　　在　　是正值连续函数，其中证函数　　　与　　　在闭正方形区域R关于直线对称．有则都可积．9则10３．X型与y型区域定义设函数　　　　　　在闭区间连续；函数　　　　　　在闭区间连续，则x型区域y型区域11积分区域为：其中函数、在区间上连续.如图x型区域12y型区域13定理2设有界闭区域R是由两条光滑曲线以及直线x=a与x=b所围成。在R可积，且定积分存在，也存在，

3、且则累次积分若函数14证明取闭矩形域使在P上定义新函数新函数　　　　在P可积．由新函数定义，有15有因此有16若有界闭区域R是型区域,函数存在，且在R可积，存在，则累次积分且　　　　　，定积分17如何利用累次积分求二重积分(以　型为例)化为先对　，后对　　的累次积分.首先将R投影到Ｘ轴，得到闭区间　　　，在区间　　上任取一点　，关于　积分，在R内　的积分限由　　　到　　　．然后关于　　从到　　积分．18应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,19例证明：若函数　　　在由直线所围成的三角形区

4、域R连续,R既是x型区域又是y型区域，则20练计算二重积分其中R是由直线所围的三角形区域．21