二阶线性微分方程 课件.ppt

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1、二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程二阶线性微分方程问题:1.二阶齐次方程解的结构特别地:例如注:解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数所求通解为特解的叠加原理例如：2.二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式将其代入上方程,得故有特征方程特征根二、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法:用常系数齐次线性方程的特征方程的根确定通解.1、有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为2、有两个相等的实根一特解

2、为得齐次方程的通解为特征根为=0=03、有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为总结:（04四08）求方程y”-y=0的积分曲线，使其在点（0，0）处与直线y=x相切解特征方程为解得y(0)=0,y’(0)=1=>C1=C2=1/2(03一29）下列微分方程中通解为y=(C1+C2x)e-3x的二阶常系数微分方程为()A、y”-6y’+9y=0B、y”+6y’+9y=0C、y”-6y’+9y=1B、y”+6y’=0B解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2对应齐次方程通解结构常见类型

3、难点：如何求特解？方法：待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程3.二阶常系数非齐次线性微分方程观察到方程一、类型I的特解形式代入原方程，并消去ex，有综上讨论04一24)待定系数求微分方程y”-2y’+y=xex特解y*时,下列特解设法正确的()A．y=(ax2+bx+c)exB.y=x(ax2+bx+c)exC．y=x2(ax+b)exD.y=x2(ax2+bx+c)exC解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例3解设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）例4写出微分方程的待定特解的形式.

4、二、类型II其中：m=max{l,n},k是(+i)为特征值时取1,否则取0。1）i是对应齐次方程特征根2）2i不是对应齐次方程特征根解对应齐方通解代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为例5解对应齐方通解代入方程例7的三个解:求满足初始条件的特解.一、二、写出下列方程的特解形式课堂练习三1)2)3)解1解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解为解2解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得故原方程的通解为由即解3解

5、（１）　由题设可得：解此方程组，得（２）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为测验题测验题答案