二阶常系数线性微分方程ppt课件.ppt

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1、课前练习解：化为正规型:微分方程解题思路一阶方程分离变量法齐次方程公式法常数变易法安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.5二阶常系数线性微分方程微积分电子教案一、二阶常系数线性齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式1、定义定理1一、二阶常系数线性齐次微分方程2、齐次通解的结构如果函数与是方程(1)的两个解,那末也是(1)的解.（是任意常数）问题:一定是通解吗？定理2如果函数与是方程(1)的两个线性无关

2、的特解,那么就是(1)的通解.（是任意常数）一、二阶常系数线性齐次微分方程例如观察有注：若在区间I上有则函数与在区间I上线性无关.定理可描述为：齐次方程(1)的通解是它的两个线性无关特解的线性组合。猜解:从基本初等函数考虑3、特征方程常值函数幂函数指数函数有可能是方程的解。一、二阶常系数线性齐次微分方程将其代入上述方程,得故有特征方程特征根构成1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为一、二阶常系数线性齐次微分方程2)有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为一、二阶常系数线性齐次微分方程3)有一对共轭复根得齐次方程的

3、通解为特征根为一、二阶常系数线性齐次微分方程通解:综上列表如下：特征根通解一、二阶常系数线性齐次微分方程求二阶常系数齐次线性方程y+py+qy=0通解的步骤：1、写出方程的特征方程：r2+pr+q=0;2、求出特征方程的两个根r1,r2;3、根据r1,r2，按上表写出方程的通解.例1求下列方程的通解解:⑴特征方程特征根∴通解为:(其中C1,C2为任意常数)⑵特征方程特征根∴通解为:(C1,C2为任意常数)一、二阶常系数线性齐次微分方程解:⑶特征方程特征根∴通解为(其中C1,C2为任意常数)⑷特征方程特征根:∴通解为:(C1,C2为任意常数)例1

4、求下列方程的通解一、二阶常系数线性齐次微分方程例2、求特解解：代入通解得所求特解：特征方程为特征根∴通解为:将代入以上两式，得：一、二阶常系数线性齐次微分方程例3、求特解解：代入通解得所求特解：特征方程为特征根∴通解为:将代入以上两式，得：一、二阶常系数线性齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程1、非齐次通解的结构定理3设是二阶非齐次线性方程的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.难点：如何求特解？方法：试解函数检验法（待定系数法）.即试解函数是与f(x)同类型的待定函数:(系数待定)列表如下

5、：试解函数2、非齐次特解的求法——“试解函数检验法”,二、二阶常系数线性非齐次微分方程完全多项式完全线性组合多项式与某函数的乘积多项式与某函数的乘积注意：若试解函数中有某项与齐次方程通解的某项是同类项，则将所设的试解函数×x，可得新的试解函数，然后继续检验，以此类推，直到新的试解函数与齐次方程的通解没有同类项为止。将检验后符合要求的试解函数代入方程(2)，求出使方程两边相等的各待定系数的值，即求出(2)的一个特解。二、二阶常系数线性非齐次微分方程求非齐次方程通解的步骤:1、求出对应齐次方程的通解Y2、假设试解函数（非常关键、包括检验）3、求出待定系数

6、，得非齐次方程的一个特解4、利用定理得非齐次方程通解二、二阶常系数线性非齐次微分方程例1、求方程的通解.解：⑴对应齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为:⑵设原方程的特解为：代入原方程得：⑶故原方程的通解为：(其中C1,C2为任意常数)二、二阶常系数线性非齐次微分方程例2、求方程的通解.解：⑴对应齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为:⑵设原方程的特解为：代入原方程得：⑶故原方程的通解为：二、二阶常系数线性非齐次微分方程例3、求方程的通解.解：⑴对应齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为:⑵设原方程的特解为：代入原

7、方程得：⑶故原方程的通解为：二、二阶常系数线性非齐次微分方程例4、求方程的通解.解：⑴对应齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为:⑵设原方程的特解为：代入原方程得：⑶故原方程的通解为：二、二阶常系数线性非齐次微分方程例5方程有形如_________特解.解：⑴对应齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为:⑵设原方程的特解为：故原方程有形如的解.二、二阶常系数线性非齐次微分方程例6、求方程的通解.解：⑴对应齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为:⑵设原方程的特解为：二、二阶常系数线性非齐次微分方程例6、求方程的通解.代

8、入原方程得：⑶故原方程的通解为：二、二阶常系数线性非齐次微分方程例7、求方程的通解.解：⑴对应齐次方程的特征