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1、一、二阶常系数齐次线性方程(9.42)的通解二、二阶常系数非齐次线性方程的通解第五节二阶常系数线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数.称f(x)为方程(9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为一、二阶常系数齐次线性方程(9.42)的通解设方程(9.42)有特解y=eλx,其中λ为待定常数.将代入方程(9.42),得(λ+aλ+b)eλx=0由于eλx≠0,故由上式得λ2+aλ+b=0(9.43)称代数方程(9.43)为方程(9.42)或(9.41)的特
2、征方程,特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值.显然,函数y=eλx是方程(9.42)的解的充分必要条件是,常数λ为特征方程(9.43)的解,即λ为特征根.由上述分析可知,求方程(9.42)特解的问题转化为求特征方程(9.43)的根的问题.因特征方程(9.43)是λ的二次代数方程,故可能有两个根,记为λ1,λ2.下面根据判别式△=a2－4b=0(9.44)><的三种不同情况,分别进行讨论.(1)△>0时,特征根为相异实根:这时齐次方程(9.42)有两个特解因常数故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通
3、解为其中λ1,λ2由式(9.45)确定,C1,C2为任意实数.(2)△=0时,特征根为重根:λ=λ1=λ2=－a/2(9.47)因此,(9.42)有一个特解,y1=eλx.直接验证可知,y2=xeλx是(9.42)的另一特解.因y1/y2=1/x≠常数,故y1与y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解为其中λ=－a/2,C1,C2为任意常数.(3)△<0时,特征根为共轭复根:其中为虚数单位.直接验证可知,函数是方程(9.42)的两个线性无关的特解.因此,方程(9.42)的特解为其中α,β由式(9.49)确定.C1,
4、C2为任意实数.综上所述,求齐次方程(9.42)通解的步骤是:(1)写出特征方程(9.43);(2)求特征方程(9.43)的根;(3)由求出的特征根写出通解,见表9.1.表9.1特征方程特征根通解λ2+aλ+b=0相异实根λ1≠λ2重实根λ=－a/2共轭实根λ1,2=α±iβ例9.11求方程的通解.解特征方程为λ2－7λ+10=(λ－2)(λ－5)=0故有两个相异的特征根λ1=2,λ2=5.因此,所给方程的通解为为任意常数例9.12求方程的通解.解特征方程为λ2+6λ+9=(λ+3)2=0故有重根λ=－3.因此,所求
5、方程的通解为为任意常数例9.13求方程的通解.解特征方程为λ2－4λ+13=(λ－2)2+9=0有一对共轭复根,λ1,2=2±3i.因此,所求方程的通解为其中C1,C2为任意常数.二、二阶常系数非齐次线性方程的通解根据定理9.2(2),求非齐次线性方程(9.41)的通解,归结为求(9.41)的一个特解y,及其对应齐次方程(9.42)的通解y,则y=yc+y*即为(9.41)的通解.上面已介绍求对应齐次方程(9.42)通解的办法,剩下的问题是如何求非齐次线性方程(9.41)的一个特解.求非齐次线性方程(9.41)特解的
6、一个常用的有效方法是“待定系数法”.其基本思想是,用与(9.41)中非齐次项f(x)形式相同但含有待定系数的函数,因为作为(9.41)的特解,称为试解函数.然后,将试解函数代入(9.41),确定试解中的待定系数,从而求出(9.41)的一个特解.自由项f(x)的常见形式有如下两类:其中μ,ω,A,B为常数,Pm(x)的m次多项式,即Pm(x)=a0xm+a1xm－1+…+am－1x+am,a0≠0.当非齐次项f(x)为上述两类函数时,设试解函数的原则列于表9.2.f(x)的类型取试解函数条件试解函数y*的形式f(x)=
7、eμxPm(x)μ为常数.μ不是特征根y*=eμxQm(x)μ是单特征根y*=xeμxQm(x)μ是重特征根y*=x2eμxQm(x)f(x)=eμx(Acosωx+Bsinωx)μ,ω,A,B为常数.μ±iω不是特征根y*=eμx(Acosωx+Bsinωx)μ±iω是特征根y*=xeμx(Acosωx+Bsinωx)注Pm(x)=a0xm+a1xm－1+…+am－1x+am为已知m次多项式Qm(x)=b0xm+b1xm－1+…+bm－1x+bm为待定m次多项式表9.2例9.14求方程的通解.解例9.11已求出对应
8、齐次方程的通解为yc=C1e2x+C2e5x下面求非齐次方程的一个特解.因f(x)=12,对应于表9.2中μ=0(不是特征根),Pm(x)=12(零次多项式).故设特解为y*=A,A为待定常数.将y*=A代入所给方程的A=6/5.因此,所求特解为y*=6/5.于是,所给方程的通解为y=yc+y*=C1e2x+C2e5x+6/5其中C1,C2为任
