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1、第四节二阶常系数线性微分方程教学内容：二阶常系数线性微分方程解的结构及解法（特征方程法，待定系数法）一.二阶常系数线性微分方程解的结构二.方程的解法——特征方程法三．二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及其求解方法——待定系数法教学重点：（p,q为常数）的解法；的特解求法教学方法：讲授与练习结合教学难点：的特解求法教学手段：多媒体课件与面授讲解相结合一一.二阶常系数线性微分方程解的结构定义1形如（其中p,q为常数（4—1）的方程称为二阶常系数线性微分方程，称为自由项，特别地，当=0时，（4—2）称为二阶常系数线性齐
2、次微分方程，否则称为线性非齐次微分方程。定理1如果是方程（4—2）的两个解，那么也是（4—2）的解，其中是任意常数。例1验证都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，并说明是原方程的通解。证：将代入方程左端=--2e-x=e-x+e-x-2e-x=0=右端所以y1=e-x是方程的解同理，y2=e2x,y3=e1-x也是方程的解由定理1可知，是原方程的解。因c1,c2不能合并为一个常数（即c1,c2是独立的）而方程是二阶的，因此是方程的通解；是方程的解，但=e-x(+C3e)=Ce-x(其中C=C1+C3)即C1,C3可合
3、并为一个常数，因此不是方程．的通解定理2（的解的结构）如果函数是方程的两个线性无关（即常数）的特解，则的通解为（其中C1,C2为任意常数）二.方程的解法——特征方程法由定理2可知，要想求出方程的通解，只需求出它的两个线性无关的特解即可设方程的特解为：y=erx（道理阐明）由=rerx,=r2erx,代入方程，得(r2+pr+q)erx=0由erx0r2+pr+q=0可见，r只要满足r2+pr+q=0，函数y=erx就是方程的解。称方程为方程的特征方程设为特征方程的两个根。若,则就是的两个线性无关的解，此时方程的通解
4、为若,即r为重根，这时得到方程的一个解还需求出一个与线性无关的解，即满足常数,于是可设则代入方程得：(ii)由r为特征方程的重根及根与余数的关系,得这样,数，是方程的两个线性无关的特解，因此方程的通解为y=(C1x+C2)erx(iii)当p2-4q<0时，特征方程无实根，而有一对共轭的复数根，这时,是方程的两个线性无关的特解。因此，方程的通解为：y==例1求+-2y=0的通解解特征方程r2+r-2=0特征根为r1=1,r2=--2因此，通解为y=C1ex+C2e-2x例2求+6+9y=0的满足y
5、x=0,=0,
6、
7、x=0=-2的特解解特征方程为：r2+6r+9=0,r1=r2=-3通解为：y=(C1+C2x)e-3x=(C2-3C1-3C2x)e-3x由初始条件：y
8、x=0=0得C1=0
9、x=0=-2得C2=2因此所求特解为：y=2xe-3x例3求解-2+5y=0解：特征方程：r2-2r+5=0r=12i通解为：y=ex(C1cox2x+C2sin2x)综上，求二阶常系数齐次微分方程步骤如下：（1）写出特征方程r2+pr+q=0（2）求出特征根（3）按下表写出通解r2+pr+q=0的两个根r1,r2微分方程的通解两个不等实根
10、r1,r2y=两个相等实根r1=r2=ry=()erx一对共轭复根r1,2=iy=三．二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构方程f(x)（4—1）(f(x))的解具有下列性质定理3设函数y是方程（4-1）的一个特解，而是相应的齐次微分方程0的通解，则方程（4-1）的通解为：y=y*+由此定理可得求解方程（4-1）的步骤如下（1)求相应的齐次微分方程0的通解;（2)求f(x)的一个特解y*;（3)写出f(x)的通解：y=+y*可见：求f(x)通解的关键是求某一个特解y*.下面就自由项f(x)=给出求特解的方法（特定系数
11、法)设的特解为：y*=Q(x)，将其代入原方程，可得(i)若不是特征方程的特征根，则应为x的m次多项式，即(其中是待定系数)。将代入方程中，比较等式两端x的同次幂系数，即可定出待定系数,从而求出将代入方程中，比较等式两端x的同次幂系数，即可定出待定系数,从而求出(ⅱ)若是特征方程的单根，则满足这样应为x的m次多项式，因此可设方程（4-1）的特解为：使用（ⅰ）所述方法，求（ⅲ）若是特征方程的二重根，则，是x的m次多项式，可设（用上述方法确定的系数）综上：方程的特解：0，不是特征根（其中k=1，是特征单根2，是二重根下
12、面通过例题，说明如何用待定系数法求的解。例4、求的通解。分析：解：①是单根，设代入原方程，得比较系数，得∴（3）原方程通解为：例5．求的一个特解.解：（1）（2）是特征单根，设代入方程，得比较系数，得（3）小结：重点（1）的解的结构与求解方法——特征方程法。（2）的求解方法——待定系数法。返回第一张幻灯片
