二阶线性微分方程理论及解法ppt课件.ppt

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1、二阶线性微分方程的理论及解法一、二阶齐次线性微分方程解的结构二、二阶非齐次线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法第三节7/29/20211二阶线性微分方程：时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.复习:一阶线性微分方程：通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y7/29/20212证毕.一、二阶齐次线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得（解的叠加原理）定理1.7/29/20213注：未必是已知方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解！但是则为解决通

2、解的判别问题,下面引入函数的线性相关性的概念.7/29/20214定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必须全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数7/29/20215☆两个函数线性相关性的充要条件：线性相关线性无关常数注：0与任意函数必线性相关仅相差常数倍！7/29/20216定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则为该方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解为推论*.是n阶线性齐次方程的n个线性无

3、关解,则方程的通解为7/29/20217二、二阶非齐次线性微分方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①证毕！又Y中含有两个独立任意常数，即y是①的解.7/29/20218例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为7/29/20219推广*.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解7/29/202110定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.（非齐次方程之解的叠加原理）7/29/202111定理5.均是方程的特解

4、.是方程的特解，则7/29/202112常数,则该方程的通解是().设两个不同的函数都是一阶非齐次线性方程的解,是任意例1.7/29/202113是任意常数,则该方程设是二阶非齐次线性微分方程的三个不同特解,且备用1.的通解是().7/29/202114常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意备用2提示:线性无关.（反证法可证）不一定线性无关7/29/202115例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三7/29/202116三、二阶常系数齐次线性微分方程的解

5、法和它的导数只差常数倍,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.7/29/2021172.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,则得因此原方程的通解为7/29/2021183.当时,特征方程有一对共轭复根此时微分方程有两个复数解:利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为7/29/202119总结:特征方程:实根特征根通解7/29/202120★若含k重复根★若含k重实根r,

6、则其通解中必含则其通解中必含特征方程:推广*：n阶常系数齐次线性微分方程7/29/202121例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为7/29/202122解特征方程为解得故所求通解为例57/29/202123特征根通解解特征方程例69/107/29/202124例7在下列微分方程中，以为通解的是(D)(2008考研)7/29/2021251、四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法2、根据解的结构定理，其通解为非齐次方程特解齐次方程通解7/29/202126求特解的方法根据f(x)的特殊

7、形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法7/29/2021271、设特解为其中为待定多项式,（其中为实数，为m次多项式）则代入得化简得7/29/202128(1)若非特征方程的根，故特解形式为则Q(x)为m次多项式，(2)若是特征方程的单根，为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,为m次多项式,故特解形式为即即7/29/202129结论对方程①,*注：此结论可推广到高阶情形！(k是重