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1、第六讲求微分方程的解Matlab基础自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。本节主要介绍求解微分方程（组）的Matlab命令.研究如何用Matlab来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。问题背景和课程要求求解微分方程(组)的Matlab命令用Maltab自带函数求解求解析解：dso
2、lve可求通解,也可求特解求数值解：ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、ode23s、ode23tbdsolve求解析解dsolve的使用y=dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')其中y为输出，eq1、eq2、...为微分方程，cond1、cond2、...为初值条件，v为自变量。例1：求微分方程的通解，并验证。>>y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')>>symsx;diff(y)+2*x*y-x*exp(-x^2)ds
3、olve的使用几点说明如果省略初值条件，则表示求通解；如果省略自变量，则默认自变量为tdsolve('Dy=2*x','x');％dy/dx=2xdsolve('Dy=2*x');％dy/dt=2x若找不到解析解，则返回其积分形式。微分方程中用D表示对自变量的导数，如：Dyy'；D2yy''；D3yy'''dsolve举例例2：求微分方程在初值条件下的特解，并画出解函数的图形。>>y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')>>ezplot(y);dsolve举例例：[x,y]=dsolve(
4、'Dx+5*x=0','Dy-3*y=0',...'x(0)=1','y(0)=1','t')r=dsolve('Dx+5*x=0','Dy-3*y=0',...'x(0)=1','y(0)=1','t')这里返回的r是一个结构类型的数据r.x%查看解函数x(t)r.y%查看解函数y(t)只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。 大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。dsolve的输出个数只能为一个或与方程个数相等。dsolve举例例3：求微分方程组在初值条件下的特解，并画出解函数的图形。[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y
5、=exp(t)','Dy-x-3*y=0',...'x(0)=1','y(0)=0','t')ezplot(x,y,[0,1.3]);注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。微分方程的数值解常微分方程数值解的定义考虑一维经典初值问题基本思想：用差商代替微商根据Talyor公式，y(x)在点xk处有Euler折线法初值问题的Euler折线法具体步骤：等距剖分：步长：分割求解区间差商代替微商得方程组：分割求解区间，差商代替微商，
6、解代数方程为分割点k=0,1,2,...,n-1yk是y(xk)的近似Euler折线法举例例：用Euler法解初值问题取步长h=(2-0)/n=2/n，得差分方程当h=0.4，即n=5时，Matlab源程序见fulu1.m解：Euler折线法源程序clearf=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;%n=(b-a)/h;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1%i=1:ny=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});x=x+h;szj=[szj;x,y];endsz
7、jplot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')Euler折线法举例（续）解析解：解析解近似解Runge-Kutta方法为了减小误差，可采用以下方法：让步长h取得更小一些；改用具有较高精度的数值方法：龙格-库塔方法Runge-Kutta(龙格-库塔)方法是一类求解常微分方程的数值方法有多种不同的迭代格式Runge-Kutta方法用得较多的是四阶R-K方法（教材第79页）其中四阶R-K方法源程序clear;f=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;%n=(b-a)/h;x=0;y=1;
8、szj=[x,y];fori=1:n-1%i=1:nl1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+
