《求微分方程的解》PPT课件

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1、实验四求微分方程的解数学实验1自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。本实验主要研究如何用Matlab来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。问题背景和实验目的2考虑一维经典初值问题基本思想：用差商代替微商根据Talyor公式，y(x)在点xk处有Euler折线法3初值问题的Euler折线法具体

2、步骤：等距剖分：步长：分割求解区间分割求解区间，差商代替微商，解代数方程为分割点差商代替微商得迭代格式：k=0,1,2,...,n-1yk是y(xk)的近似4Euler折线法举例例：用Euler法解初值问题取步长h=(2-0)/n=2/n，得差分方程当h=0.4，即n=5时，Matlab源程序见fuluA.m解：5Euler折线法源程序clearf=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;%n=(b-a)/h;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1%i=1:ny=y+h*subs(f,{'x

3、','y'},{x,y});x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')6Euler折线法举例（续）解析解：解析解近似解y=1/3*(-18-54*x+45*exp(3*x))^(1/3)7Runge-Kutta方法为了减小误差，可采用以下方法：让步长h取得更小一些；改用具有较高精度的数值方法：龙格-库塔方法Runge-Kutta(龙格-库塔)方法是一类求解常微分方程的数值方法有多种不同的迭代格式8Runge-Kutta方法用得较多的是四阶R-K方法其中9四阶R-K方法源程序clear;f

4、=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;%n=(b-a)/h;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1%i=1:nL1=subs(f,{'x','y'},{x,y});L2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+L1*h/2});L3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+L2*h/2});L4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+L3*h});y=y+h*(L1+2*L2+2*L3+L4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endplot(

5、szj(:,1),szj(:,2),'dg-')10Runge-Kutta方法11Euler法与R-K法误差比较12Matlab解初值问题用Maltab自带函数解初值问题求解析解：dsolve求数值解：ode45、ode23、ode113、ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb13dsolve求解析解dsolve的使用y=dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')其中y为输出，eq1、eq2、...为微分方程，cond1、cond2、...为初值条件，v为自变量。例1：求微分方程的通

6、解，并验证。>>y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')>>symsx;diff(y)+2*x*y-x*exp(-x^2)14dsolve的使用几点说明如果省略初值条件，则表示求通解；如果省略自变量，则默认自变量为tdsolve('Dy=2*x','x');％dy/dx=2xdsolve('Dy=2*x');％dy/dt=2x若找不到解析解，则返回其积分形式。微分方程中用D表示对自变量的导数，如：Dyy'；D2yy''；D3yy'''15dsolve举例例2：求微分方程在初值条件下的特解，并画出解函数的图形。>>y=dso

7、lve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')>>ezplot(y);16dsolve举例例3：求微分方程组在初值条件下的特解，并画出解函数的图形。[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0',...'x(0)=1','y(0)=0','t')ezplot(x,y,[0,1.3]);注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。17dsolve举例例：[x,y]=

8、dsolve('Dx+5*x=0','Dy-3*y=0',...'x(0)=1'