求微分方程的解(II)

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1、水工艺及计算机应用田应丽西安工业大学建筑工程系2008.08第四节求微分方程的解§4.1相关概念§4.2Euler折线法§4.3Runge-Kutta方法§4.4Matlab自带函数解初值问题§4.1相关概念问题背景和本节课的目的自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。例1：给排水工程中，完全混合间歇反应器中底物浓度S随反应时间t的变换规律为K：反应速率常数§4.1相关概念例2：在水处理的曝气过程中，溶解氧浓度C的变化规律也可以用一阶常微分方程来表示：KLa：反氧的总传递系数t：曝气时间CS：特

2、定条件下溶解氧的饱和浓度R：水中的耗氧速率例3：在考虑河流中有扩散的稳态条件下，如果有机物的讲解遵循一级反应，那么随着河流的流动距离X，有机物浓度（用BOD表示）S的变化规律为二阶常微分方程：D：弥散系数u：河流平流速度Kl：BOD降解速率常数§4.1相关概念所以由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，特别是高阶方程和偏微分方程（组）。这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法。解析解法：精确解，只有一些简单的或特殊的的类型才能求出解析解。数值解法：近似解，就是寻求解x(t)在一些列离散节点t1

3、x2，…xn，…。注意这里xi≈x（ti）.§4.1相关概念一般来说，实际应用问题中常微分方程的求解是所谓定解问题，它又分为初值问题和边值问题两种提法。初值问题：给定方程和解的初始条件，求满足方程和初始条件的解，即为求初值问题。边值问题：给定方程和解的两端点条件，求满足方程和边界条件的解，即为求边值问题。§4.1相关概念给排水工程中，最常遇到的是初值问题和定解问题，因此本课程仅讨论初值问题和定解问题。本节课主要研究如何用Matlab来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。其次，对微分方程（组）的解析解法，Matlab有专门的函数可

4、以用，本节课也将作一定的介绍。§4.2Euler折线法基本思想：将微分方程初值问题化成一个代数方程，即差分方程，用差商代替微商。考虑一维经典初值问题：根据Talyor公式，y(x)在点xk处有§4.2Euler折线法具体步骤：等距剖分：步长：分割求解区间差商代替微商得方程组：分割求解区间，差商代替微商，解代数方程为分割点k=0,1,2,...,n-1yk是y(xk)的近似§4.2Euler折线法Euler折线法的Matlab程序：olf.m§4.2Euler折线法例：用Euler法解初值问题取步长h=(2-0)/n=2/n，得差分方程当h=0.4，即n=5时，调入Matlab源程序

5、olf.m解：§4.2Euler折线法数据结果为：图形结果为：§4.2Euler折线法分析Euler折线法与精确解之间的误差已知该初值问题的解析解为：解析解近似解§4.2Euler折线法由上例可以看出，Euler折线法与的计算误差随着n的增大不断积累，其折线“越偏越离”，所以这种方法的精度比较低。为了减小误差，可采用以下方法：让步长h取得更小一些；改用具有较高精度的数值方法：Runge-Kutta(龙格-库塔)方法是一类求解常微分方程的数值方法有多种不同的迭代格式§4.3Runge-Kutta方法基本思想考虑一维经典初值问题：根据微分中指定理，可得：令：称其为[xn，xn+1]上的

6、平均斜率，由于θn无法具体确定，所以平均斜率也无法准确计算。但是如果能对平均斜率提供一种可行的数值逼近，这就等于对初值问题提供了一种可行的数值算法。欧拉公式中，相当于θn=0§4.3Runge-Kutta方法欧拉方法的几何意义欧拉公式有明显的几何意义。从几何上看，求解初值问题就是x-y平面上求一条通过点（x0，y0）的曲线y=y(x)，并使曲线上任意一点（x，y）处的切线斜率为f（x，y）。欧拉公式的几何意义就是从点P0（x0，y0）出发作一斜率为f（x0，y0）的直线，交直线x=x1于点P1（x1，y1），P1点的纵坐标y1就是y（x1）的近似值；再从点P1作一斜率为f（x1，y

7、1）的直线，交直线x=x2于点P2（x2，y2）,P2点的纵坐标y2就是的近似值y（x2）；如此继续进行，得一条折线P0P1P2…。该折线就是解y=y(x)的近似图形，§4.3Runge-Kutta方法欧拉方法的几何意义§4.3Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法的基本思想：在[xn，xn+1]内多预测几个点处的斜率，然后用其加权平均来逼近平均斜率，以便获得定都更高的计算公式。二阶Runge-Kutta方法的推导步骤：近似平均斜率的值，要求具有二阶精度