常微分方程2.3解的延展.ppt

《常微分方程2.3解的延展.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.3解的延拓定理/Theoremonextensionofsolution/解的延拓的引入解的延拓定理及其推论内容提要/ConstantAbstract/本节要求/Requirements/理解解的延拓方法。会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。§2.3ExtensionTheorem32.3解的延展问题的提出对于初值问题4例如初值问题于是提出了研究解的延展(或称延拓)问题.一、解的延拓的引入1局部利普希兹条件右端函数f(x,y)在某一有界区域G中有意义。如果称f(x,y)在G内满足局部利普希兹条件，即对区域

2、G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G内的矩形域R，在R上f(x,y)满足利普希兹条件。（注意：点不同，域R大小和常数L可能不同）§2.3ExtensionTheorem2解的延拓设是的解，若也是初值问题的解，，当时，则称解是解在区间上的延拓。§2.3ExtensionTheorem3延拓方法设方程的解已定义在区间上，现取然后以作一小矩形，使它连同其边界使得在区间,方程有过的解且在处有中心，都含在区域G的内部，再用解的存在唯一性定理，存在由于唯一性，显然解和解都在定义的区间上，§2.3ExtensionTheorem区

3、间上，有过的解且在处有由于唯一性，显然解和解都在定义的区间上，但是在区间上，解向右方的延拓，即将延拓要较大的区间。再令如果，我们又可以取为中心，作一小矩形,§2.3ExtensionTheorem可以取为中心，作一小矩形,使它连同其边界都含在区域G内。仿前,又可以将解延拓到更大的区间上，其中是某一个正常数。对于x值减小的一边可以进行同样讨论,使解向左方延拓。就是在原来的积分曲线左右端个接上一个积分的曲线段。上述解的延拓的方法还可继续进行。那么,向两边延拓的最终情况如何呢?§2.3ExtensionTheorem3延拓方法

4、§2.3ExtensionTheorem二、解的延拓定理及其推论1解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数在有界区域G中连续，且在G内满足局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过G内任何一点的解可以延拓。直到点任意接近区域G的边界。以向x增大的一方的延拓来说，如果只能延拓的区间上，则当时，趋近于区域G的边界。§2.3ExtensionTheorem2推论如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)的通过点的解以向x增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:可以延拓，(1)解可以延拓到区间(2)解只可以延拓到

5、区间其中m为有限数，则当时，或者无界，或者趋于区域G的边界。§2.3ExtensionTheorem例1讨论方程以及通过点(ln2,-3)的解的存在区间。解的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。方程的通解为通过点(0,0)的解为其存在区间为通过点(ln2,-3)的解为其存在区间为§2.3ExtensionTheorem-3(ln2,-3)-1xy1ln2但向左方只能延拓到0,过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况

6、。注意：(无界)§2.3ExtensionTheorem例2讨论方程的解的存在区间。满足条件方程右端函数右半平面x>0上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。解通过点(1,0)的解为其存在区间为，但向左方只能延拓到0,向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。(趋于G的边界y=0)§2.3ExtensionTheorem例3用解的延拓定理证明如果f(x,y)在整个xy平面上定义、连续和有界，存在关于y的一阶连续偏导数，则方程的任一解均可以延拓到区间。证明§2.3ExtensionT

7、heorem所以值域在如图的阴影区内，否则将穿过直线xyox0y0x1则会有与矛盾。由解的延拓定理推论，方程的任一解均可以延拓到区间。§2.3ExtensionTheorem2设线性方程当P(x),Q(x)在区间上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在。练习1讨论方程的解的存在区间。上满足条件在§2.3ExtensionTheorem思考题1）求方程满足条件的解的逐次逼近以及h的最大值。2）设f(x,y)在整个xy平面上连续，证明从两曲线之间任一点出发的且满足方程的解必可延拓到半无限区间。§2.3Extensio

8、nTheorem3）求具有性质的函数x(t)，已知存在。解§2.3ExtensionTheorem§2.3ExtensionTheorem