简谐振动课件.doc

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1、（一）简谐振动    最简单和最基本的振动是简谐振动．任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成．    1．特点质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置．所受的力与位移的关系表示为             （7.1）式中  为正的常数．对于弹簧振子，  就是弹簧劲度系数    2．运动的微分方程及其解    根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成    即                  （7.2）式中  。如下面的（7.3）和（7.4）

2、听示，  是简谐振动的圆频率。  微分方程（7.2）的解是                     （7.3）或            （7.4）式（7.3）也可以表为复数形式                （7.5）但要约定取其实数部分．    利用三角公式，很容易导出A ，  和B，C之间的关系    即         （7.6）3．速度和加速度    作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到．只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，           （7.7）         （7.8）    式（

3、7.1）、（7.2）、（7.3）、（7.4）、（7.5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐．    4．圆频率  、周期  和频率  之间的关系     ，  ，       （7.9） ，  ，  三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率．    5．振幅  和初周相 （7.3）中  和  是两个积分常数，可由初始条件决定．将初始条件：“  ，  ， ”代入（7.3）和（7.7），得                  （7.10

4、）解得           （7.11）    求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的  ，  ，  三个值．其中  和  由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值  和  ，而根据（7.10）或（7.11）求出  和  值．至于  （或  或  ），它是由系统固有性质决定的，与初始情况无关．例如对于弹簧振子，  ，完全由弹簧劲度系数  和物体质量  所决定．弹簧的  大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率  也就大。而物体的质量m大，  就小．6．简谐振动系统的能量作简谐振动的质点动能为     

5、  （7.12）振动系统弹性势能为        （7.13）因此系统总机械能为           （7.14）    系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变．这是简谐振动的一个特性．总机械能E与振动的振幅平方A 2，振动的圆频率平方  成正比．    动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是      （7.15）注意  和  在一周期内对时间的平均值均等于1／2．这样，                         （7.16）  7.弹簧振子、单摆和复摆  弹簧振

6、子：    无摩擦的水平面上的弹簧振子的振动是简谐振动的典型例子(图7－1)．将坐标原点取在  的平衡位置上，则物体所受的力如式(7.1)，运动微分方程如式（7.2），其解如式（7.3）或式（7.4）．振动周期 对于竖直悬挂的弹簧振子（图7－2）．在竖直方向，  除了受弹性力作用外，还受重力作用．若选取坐标OX，竖直向下，原点O在弹簧既不伸长也不缩短的端点，则物体在任意位置所受到的力表为  ．除了弹力之外多了一项恒定的外力——重力  ．但是若将坐标原点取在物体重力作用下的平衡位置O’（显然O’在O之下面  处，见图7－2），

7、则物体在任意位置X’所受的力就可简单地表示为  ．这在形式上与水平弹簧振子相同在这种情况下，重力似乎可以不加考虑，同水平振子一样处理．图7－1      图7－2         单摆：    在摆角  很小情况下，单摆的摆动是简谐振动。单摆的位置由角位移  决定．单摆摆锤受重力  和摆绳张力T作用（图7-3）．摆锤在竖直面上作圆周运动，如果仅考虑切向运动，则切向力为 ．只要  则  （弧度单位），因此切向力表为图7-3      （7.17）负号表示切向力指向平衡位置，驱使 减小，是一恢复力．这种力具有弹性力的特点，常称为

8、准弹性力．单摆的运动方程由牛顿第二定律切向分量式决定即       （7.18）此式与微分方程（7.2）形式相同，所以单摆作简谐振动，其振动圆频率为     （7.19）振动周期  ．运动的表达式为           （7.20） 和  为两个待定常数，由初始摆角和初始角速度决定