高中同步数学教案第15章 简单几何.doc

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1、第十五章简单几何体15、1多面体的概念：1、多面体的概念例：由平面多边形（或三角形）围成的封闭体——多面体；构成多面体的各平面多边形（或三角形）——多面体的面；相邻多边形（或三角形）的公共边——多面体的棱；棱与棱的交点——多面体的顶点。2、棱柱的概念：如果一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫棱柱。棱柱的两个互相平行的面——棱柱的底面；其余各面——棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形；不在底面上的棱——棱柱的侧棱；两个底面间的距离——棱柱的高；不在同一个面（指

2、棱柱的底面与侧面）上的两个顶点的连线——棱柱的对角线。3、棱柱的表示：三棱柱，四棱柱，……4、棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数分（或按侧棱条数分）：三棱柱，……，n棱柱；（2）按侧棱与底面是否垂直分：其中底面为正多边形的直棱柱也叫正棱柱。5、棱柱的性质：（1）棱柱的侧面都是平行四边形；（2）侧棱都平行且相等；（3）两个底面及平行于底面的截面的都是全等的多边形；（4）过棱柱的不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。6、正棱柱的性质：（1）两个底面及平行于底面的截面都是正多边形；（2）正棱柱的侧面都是全等的矩形；（

3、3）侧棱垂直于底面，且侧棱长全相等；（4）对角面为矩形。7、几类特殊的四棱柱：四棱柱；直四棱柱；正四棱柱；平行六面体；直平行六面体；长方体；正方体。请说出它们的包含关系。例1、下列说法是否正确？为什么？（1）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（2）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（3）斜棱柱不可能有两个相邻的侧面都是矩形；（4）底面是凸多边形的斜棱柱的侧面中，至多有两个矩形。解：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√。例2、已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，求长方体的对角线与过它的一个端点的三个面所成的余弦

4、值。解：在长方体中，分别是与面所成角，分别设为。说明：长方体的对角线与过它的一个端点的三个面所成角的正弦值的平方和等于1，与过它的一个端点的三条棱所成角的余弦值的平方和等于1.例3、已知直平行六面体的各棱长均为a，底面是有一个角为60°的菱形，求它的两条对角线的长。解：在底面菱形中，。所以对角线，同理例4、若直棱柱的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面面积分别为和，底面边长为8，求此棱柱对角线的长。解：设直棱柱底面菱形的两对角线长分别为，棱柱的高为，，所以棱柱的两对角线之长为和。8、棱锥的概念：有一个面是多边形

5、，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些图形围成的几何体叫棱锥。棱锥的多边形的面——棱锥的底面；其余的各三角形面——棱锥的侧面；不在底面上的棱——棱锥的侧棱；各侧棱的公共点——棱锥的顶点；顶点到底面的距离——棱锥的高。9、棱锥的分类及其表示棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，……。如图棱锥记为四棱锥。10、正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥。11、正棱锥的性质：（1）正棱锥的各侧棱长相等，各侧面是全等的等腰三角形；（2）高、斜高及斜高在底面上

6、的射影组成一个；高、侧棱及侧棱在底面上的射影组成一个；侧棱、斜高、底面边长的一半组成一个；底面外接圆半径、内切圆半径及边长一半组成一个。例5、（1）过棱锥高的中点，作平行于底面的截面，截面积：底面积=。（2）一个平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面把棱锥的高截成的两段（自上而下）之比为。解：（1）1：4；（2）。例6、判断下列命题正确与否？并说明理由。（1）各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（3）正三棱锥的各个侧面都是正三角形；（4）各条侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱

7、锥；（5）各侧面是全等的等腰三角形，底面是各边相等的多边形，这样的棱锥是正棱锥。解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×。例7、满足下列哪个条件的棱锥是正棱锥（）（A）相邻两条侧棱间的夹角都相等；（B）各条侧棱在底面的射影都相等；（C）顶点到底面各边的距离都相等；（D）侧棱相等且底面多边形的各边相等。解：D例8、已知正三棱锥底面边长为a，高为h，求它的侧棱长和斜高。解：设底面中心O，连接SO，则。连延长交BC于H，则H为BC中点。侧棱长，斜高15、2多面体的直观图1、多面体的直观图学习立体几何，往往

8、需要在平面上作出具有立体感的空间图形，其中斜二轴测图作法比较容易掌握，且视觉效果不错。斜二轴测图的作法：（简称斜二测）（1）按图所示位置及夹角作出三条轴分别表示铅垂方向，左右方向以及前后方向，并依次称为z轴，y轴和x轴。（2）规定在z轴和y轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上线段的长度表示其真实长度的一半。例1、在水平位置的平面上，画如图所示的直观图。解：1、在中作