高中同步数学教案第14章 空间直线与平面.doc

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1、第十四章：空间直线与平面平面几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的学科；立体几何是研究空间图形性质、画法、大小及其它们应用的学科。共三个部分：第一部分讨论空间的直线、平面之间的位置关系；第二部分介绍多面体、旋转体的性质及其它们的表面积、体积的求法；第三部分是空间向量及其应用。14、1平面及其基本性质1、平面的概念平面概念是现实中抽象出来的“平的面”，无厚度，无边界，在空间延伸至无限。2、平面的画法两个平面同时出现时，其中一个的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画。文字表示：平面，平面，平面等等。3、点、线、面及其位置关系的表示点、、、……直线、、、……或直线、……（点

2、在直线上）（点不在直线上）（点在平面上）（点不在平面上）（直线在平面上，或说平面经过直线）（直线与平面相交于点）（直线与平面平行）（平面与平面相交于直线）（平面与平面平行）例1、说出下列符号所表示的关系，并画出草图。（1），，直线；（2）直线，直线，平面；（3）平面，直线，直线，，。解：（1）（2）（3）4、平面的基本性质公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。（这时我们说：直线在平面内。或说：平面经过直线。）集合语言表述：若，且，则。公理1的作用：判断直线是否在平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线。集合语

3、言表述：若，则，且。公理2的作用：判断两个平面相交的依据。公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面。这里“确定一个平面”的含义是指“有且只有一个平面”。“有”指的是存在性，“只有”指的是唯一性。公理3的作用：给出了确定平面的条件。公理3的三个推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2：两条相交直线确定一个平面。推论3：两条平行直线确定一个平面。（推论证明略）例2、下列命题是否正确，为什么？（1）两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合。（2）两个不重合的平面，如果有两个公共点，那么其他公共点都在直线上。（3）四条边相等的四边形是菱形。（4）梯形一定是平面图形。（5）一个面内有无数条

4、直线，这个面一定是平面。解：（1）×；（2）√；（3）×；（4）√；（5）×。例3、下列条件各能确定几个平面？（1）空间不在同一平面的四点。（2）过同一点所作的三条直线。（3）空间两两平行的四条直线。（4）一条直线和直线外不共线的三个点。解：（1）4个；（2）1个或3个；（3）1个，4个或6个；（4）1个，3个或4个。例4、已知直线及平面，下列命题中：（1）；（2）；（3）；（4）。正确命题的序号为。解：（4）例5、（1）一个平面把空间分成几个部分？（2）二个平面把空间分成几个部分？（3）三个平面把空间分成几个部分？解：（1）2个；（2）3个或4个；（3）4个，6个，7个或8个。例6、已知点直

5、线，点，求证：直线共面。例7、证明：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线共面。例8、已知直线，直线与直线分别交于，求证：直线共面。证明：因为，所以确定一个平面（推论3），∵，∴，而，∴，即三直线共面，同理三线共面，又∵为相交直线，∴直线只能确定一个平面，所以直线所在平面与直线所在平面为同一平面，即直线共面。例9、分别是正方体的棱的中点。求证：四点共面。例10、在正方体中，若直线与平面交于点，求证：三点共线。证明：连结，∵，∴确定平面，∵，又∵，∴，又∵，而，∴，根据公理二，即三点共线。例11、画出下图中，过三点的平面与其他平面的交线：解：设，连结交于点，连结，则平面，平面。例12、如

6、图，已知，，求作直线与平面的交点。解：∵，∴确定平面，又因为，所以，同理。在平面中与不平行，设它们交于点。又∵，∴，所以为直线与平面的交点。14、2空间直线与直线的位置关系1、空间两直线的位置关系（1）平行——在同一个平面内，无公共点；（2）相交——在同一个平面内，有且只有一个公共点；（3）异面——不同在任何一个平面内，无公共点。2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行集合语言：若，，则例1、在长方体的面内有一点，过点在面内作一条直线和平行，应该如何画，并说明理由。画法：连结，过点在面内作一条直线，则即为所求直线。证明：因为，又因为，所以为平行四边形，所以，根据公理4，。3、定理1（等角

7、定理）：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。已知直线相交于点，直线相交于点，且，求证：所成的锐角（或直角）与所成的锐角（或直角）相等。证明：在直线上分别取点，使，因为，所以在所确定的平面上过点作的平行线交于，∵位平行四边形，∴；在平行直线所确定的平面上过点作的平行线交于，同理可证。又∵和，∴，四边形为平行四边形，所以，，则，即。例2、如图，在正方体中，，连结，求证：。