空间直线与平面1

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1、空间直线与平面一.知识回顾:1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：．3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：．4定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任

2、意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足直线l与平面α垂直记作：l⊥α5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6．直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．9三垂线

3、定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式：．注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用二基本训练：1．已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是（），，且、与成等角2．、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是（），且，且，且，且3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有（注：填

4、上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：①若，，则是的垂心②若两两互相垂直，则是的垂心③若，是的中点，则④若，则是的外心其中正确命题的命题是①②③④三．例题分析：例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．BADCPNQM求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．证明：(1)∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．∴MN

5、∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．否则，若ACÌα，由A∈α，M∈α，得B∈α；由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．又∵MNÌα，∴AC∥α，又ACËα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．同理可证BD∥平面MNP．例2．四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，又∴，∴在中，∴，∴，又，即，∴平面例3.如图，直三棱

6、柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面，∵，∴，∴，∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，取的中点，连结，则，∵平面，∴平面，∴是在平面内的射影。在中，在中，，∴∴，∴，∴平面例4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，（1）求证：平面；（2）求证：（3）若，求证：平面四、作业同步练习g3.1061空间直线与平面1、已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是（），，且、与成等角2、、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是（），且，且，且，且3、已知平面直线n

7、过点P，则的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、非充分非必要条件4、已知直线平面内直线b与c相距6cm且a

8、

9、b,a与b相距5cm，则a、c相距（）A、5cmB、或5cmC、D、或5cm5、在中，,AB=8,,PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A、B、C、D、6、在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为．7、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，若BD＝6cm,梯形EFGH的面积为28cm2。则平行线EH、

10、FG间的距离为8、如图，的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与CD所成角的大小为。9、图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是。ABCDB11D1C11α1A1B2