平面与空间直线(II)

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1、第三章平面与空间直线主要内容1、平面的方程2、平面与点的相关位置3、两平面的相关位置4、空间直线的方程5、直线与平面的相关位置6、空间两直线的相关位置7、空间直线与点的相关位置8、平面束第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程1、方向矢量在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a,b称为平面的方向矢量。显然，任何一对与平面平行的不共线矢量都可作为平面的方向矢量。2、平面的矢量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M

2、0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）称为平面的矢量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}则由（1）可得（2）式称为

3、平面的坐标式参数方程。r=r0+ua+vb（1）例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的矢量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（

4、r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3o如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．二、平面的点法式方程1.法向量:注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.2.平面的点法式方

5、程设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOnM0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向

6、量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9jk例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n={1

7、,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为它表示过定点注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.且法向量为n={A,B,C}的平面.例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0

8、,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面