《平面与空间直线》word版

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1、第3章平面与空间直线§3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；（3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。解：（1），又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：，即。（3）（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD：，从而的参数方程为：一般方程为：。（ⅱ）设平面通过

2、直线AB，且垂直于所在的平面，均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：.2.化一般方程为截距式与参数式：.解：与三个坐标轴的交点为：，所以，它的截距式方程为：.又与所给平面方程平行的矢量为：，所求平面的参数式方程为：3.证明矢量平行与平面的充要条件为：.证明：不妨设，则平面的参数式方程为：故其方位矢量为：，从而平行于平面的充要条件为：，共面.4.已知：连接两点的线段平行于平面，求里的坐标.解：而平行于由题3知：从而.§3.2平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1），；（2），.解：将的方程法式化，得：，故离差为：

3、，到的距离（2）类似（1），可求得，到的距离2.求下列各点的坐标：（1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点；（2）在轴上且到点与到平面距离相等的点；（3）在x轴上且到平面和距离相等的点。解：（1）设要求的点为则由题意或7.即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）设所求的点为则由题意知：由此，或-82/13。故，要求的点为及。（3）设所求的点为，由题意知：由此解得：或11/43。所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：所以，高。4.

4、求中心在且与平面相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：，所以，要求的球面的方程为：.即：.3.3两平面的相关位置1.判别下列各对直线的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与。解：（1），（1）中的两平面平行（不重合）；（2），（2）中两平面相交；（3），（3）中两平面平行（不重合）。2.分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：从而：，，。（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：所以：，。（3）欲使所给

5、的二方程表示二垂直平面，则：所以：。3.求下列两平行平面间的距离：（1），；（2），。解：（1）将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1=1。（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。4.求下列个组平面成的角：（1），；（2），。解：（1）设：，：或。（2）设：，：或。§3.4空间直线的方程1.求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2）通过点且平行于两相交平面：的直线；（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）通过点且与两直线和垂直的直线；（5）通过点且与平面垂直的直线。解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的

6、直线方程为：即：，亦即。（2）欲求直线的方向矢量为：所以，直线方程为：。（3）欲求的直线的方向矢量为：，故直线方程为：。（４）欲求直线的方向矢量为：，所以，直线方程为：。（５）欲求的直线的方向矢量为：，所以直线方程为：。２.求以下各点的坐标：（１）在直线上与原点相距２５个单位的点；（２）关于直线与点对称的点。解：（１）设所求的点为，则：又即：，解得：或所以要求的点的坐标为：。（２）已知直线的方向矢量为：，或为，过垂直与已知直线的平面为：，即，该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则：，，　　，即。３.求下列各平面的方程：（１

7、）通过点，且又通过直线的平面；（２）通过直线且与直线平行的平面；（３）通过直线且与平面垂直的平面；（４）通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程为：即。（２）已知直线的方向矢量为，平面方程为：即（３）要求平面的法矢量为，平面的方程为：，即。（4）由已知方程分别消去，，得到：，，此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：（1）（2）（3）解：（1）直线的方向数为：射影式方程为：，即，标准方程为：，方向余弦为：，，。（2）

8、已知直线的方向数为：，射影式方程为：，即标准方程为：，方向余弦为：，，。（3）已知直线的方向数为：，射影式方程为：，标准式方程为：，方向余弦为：，，。§3.5直线与平面的相关位置1.判别下列直线与平面的相关位置：（1）与