初一数学竞赛(行程问题精讲)

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1、例1从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下

2、的解法：(1)+(2)得(x+y)(+)=9+所以x+y=(3)(1)-(2)得(x-y)(-)=9-所以x-y=(4)由(3)、(4)得x=所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。例2公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于分钟。(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏

3、时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得两式相减得12a=72b即a=6b代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例3摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到

4、一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为D，傍晚汽车在E休息ADCEB由已知，AD是AC的三分之一，也就是AD=DC又由已知，EB=CE两式相加得：AD+EB=DE因为DE=400千米，所以AD+EB=´400=200千米，从而A、B两市相距400+200=600千米评注：行程问题常通过

5、画行程示意图来帮助我们思考。例4有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1>v2>v3>v>0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1)3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2)经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：Si=(vi-v)´1+v´1=vi´1(i=1、2、3)第

6、i号赛艇追上浮标的时间为：(小时)由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝①甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝②②－①可得到－＝－＝

7、③④⑤甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离＝（－）×30－（－）×10；乙追上丙所用时间＝＝秒．所以第110秒时，乙追上丙．评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和´时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差´时间。例6.(2007新疆省)图9表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x(分)变化的图象.根据图象回答问题；图9(1)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇。(2)求这次比赛全程是多少千米。(3)求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.分析：本题将行程问题与正比例函数

8、、一次函数有机地结合在一起，而其数据信息完全由图象给出，突出了数形结合的特点。解题的关键是从图象获取数据信息，建立起关于一次函数和二元一次方程组的数学模型，这种“审读获取信息——建立数学模型——解释、解决问题”的方式是信息性问题的基本解题方式。一、选择题1、甲、乙二人从M地同