数学竞赛讲义之行程问题(ⅲ)

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1、奥林匹克数学讲义类编数学竞赛讲义之行程问题(Ⅲ)§5、多车相遇例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？例题求解：我们知道，一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有15÷5－1＝2辆车所以当某人骑车出发，而甲站恰发车时，在途中有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发车9

2、辆时，甲到达，即有8个时间间隔，时间为5×8＝40分钟。所以某人骑完全程时间为40分钟。例73、某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。例题求解：-16-奥林匹克数学讲义类编我们知道两辆电车的间隔相等，两次相遇期间，共行走了[(行人+电车)×4]，所以两辆电车的间隔为[(行人+电车)×4]，于是两辆车间隔时间为；两次追击期间，共行走[电车×12]，行人走了[行人×12]，所以电车行走了(电车－行人)×12，两辆电车的间隔为(电车－行人)×12，于是两辆车的间隔时间为。于是，有＝，所以(行人＋电

3、车)＝3(电车－行人)有电车＝2行人，带入，有间隔＝＝＝6分钟。例题评析：此题关键是注意还原求出两车情况。例74、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？例题求解：我们画出示意图；我们假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。则B距A点距离为BA＝60×＝615米；C距A点距离为CA＝82×10＝820米。所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒－10分钟＝1

4、5秒＝分，路程为820－615＝205。于是，电车的速度和为205÷＝820米/分。于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(820＋82)×10＝9020米远两电车间隔为9020。所以发车间隔为9020÷820=11分。柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：每天中午由一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来，一位数学家画出了“路程图”(运程图)，才得以解

5、决。-16-奥林匹克数学讲义类编中途13艘，首尾2艘，共15艘。Excel的解法：这个题目用不着计算，只需在Excel上作图，将相关信息表示出来，结果自然就明白了。作图过程可以充分利用Excel的“粘贴”、“复制”功能，数列“0、1、2、3、4、5、6、7”和数列“7、6、5、4、3、2、1、0”的设置只是举手之劳。从图上可以看出，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。这样，从勒阿佛尔港驶出的轮船，在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看，当中一列（蓝色）共有16行相交，除去哈佛港

6、当天自己开出的一列（红色），相交数也是15。例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米。早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？例题求解：-16-奥林匹克数学讲义类编图象法：我们画出示意图，利用示意图来求解，但是要求图象一定的精确度，所以，我们一般使用图象法与分析法结合使用，对有可能的情况分析。通过上图(我们最好画出清晰图)，我们知客车在第5、6两

7、站遇见三辆货车。分析法：客车从一个车站走到下个车站所需时间为：7÷100×60＝分钟。所以客车到第一站的时间为;第一站：8时0分；第二站：8时分；第三站;8时分；第四站：8时分；第五站：8时分；第六站：8时21分；第七站:8时分；第八站：8时分；第九站：8时分；第十站：8时分；第十一站：8时42分。而客车出发时，第一辆货车距它：10×7－60×1＝10千米。所以，客车与第一辆相遇为8时10÷(100＋60)×60＝分。相邻两货车间距为：60×5÷60＝5千米。所以，客