行星轨道方程的渐近解.pdf

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1、第18卷第1期辽宁工学院学报Vol.18No.11998年3月JOURNALOFLIAONINGINSTITUTEOFTECHNOLOGYMar.1998a行星轨道方程的渐近解姜悦岭　王贺元(计算机系)(基础科学部)摘　要　运用应用数学中的摄动方法对行星轨道方程的一级渐近解进行了改进,给出了行星轨道方程的二级渐进解并讨论了解的物理意义。关键词　微分方程;渐近解;特解中图分类号　O175.29由广义相对论知,行星在太阳引力场中的轨道方程为2duGM3GM22+u=2+2u(1)dHhC　　该方程为非线性非齐次微分方程。式(1)中各变量所代表的物理意义在文献[1]中均有说明,文献[1]应用

2、微扰法给出了其一级渐近解,但此一级渐近解在探讨行星问题中似乎还不够精确,故本文应用摄动方GM3GM法给出其二级渐近解。为方便,令k=2,E=2,则式(1)化为hC2du22+u=k+Eu(2)dH[1]其中E为小参数,设式(2)有形如2u=u0+Eu1+Eu2+⋯(3)的解,其中ui(i=0,1,2,⋯)均为H的函数,把式(3)代入式(2)得222du0du12du2222(4)2+E2+E2+⋯+u0+Eu1+Eu2+⋯=k+E(u0+Eu1+Eu2+⋯)dHdHdHi(比较式(4)两端Ei=0,1,2,⋯)的系数得2du02+u0=k(5)dH2du122+u1=u0(6)dH2d

3、u22+u2=2u0u1(7)dH方程(5)的通解为u0=Asin(H+U)+k,其中A和U为积分常数,把u0代入式(6)得222du122AA2+u1=〔k+Asin(H+U)〕=k++2kAsin(H+U)-cos2(H+U)(8)dH22222du12A32A对2+u1=k+有特解u11=k+.dH222du1对于2+u1=2kAsin(H+U)(9)dH3有形如u12=H〔a1cos(H+U)+b1sin(H+U)〕(10)a本稿1997年7月17日收到。辽宁省教委科研基金资助项目。姜悦岭:男,1964年生,讲师,硕士。锦州市士英街169号,辽宁工学院软件教研室,邮编12100

4、1.70辽宁工学院学报　　　　　　　　第18卷第1期　的特解,求导得′3u12=a1cos(H+U)+b1sin(H+U)+H〔b1cos(H+U)-a1sin(H+U)〕″3u12=-2a1sin(H+U)+2b1cos(H+U)-H〔a1cos(H+U)+b1sin(H+U)〕(11)式(10)、(11)代入式(9)得-2a1sin(H+U)+2b1cos(H+U)=2kAsin(H+U)待定系数得a1=-kAb1=03(H+U)(12)所以u12=-kAHcos对方程22du1A2+u1=-cos2(H+U)(13)dH23(H+U)+b(H+U)(14)有形如u13=a2cos

5、22sin2的特解,求导得′3(H+U)+2b(H+U)u13=-2a2sin22cos2″3(H+U)-4b(H+U)(15)u13=-4a2cos22sin2式(14)、(15)代入式(13)得2A-3a2cos2(H+U)-3b2sin2(H+U)=-cos2(H+U)22A得a2=b2=0623A所以u13=cos2(H+U)6[2]由叠加原理得式(8)有特解2233332AAu1=u11+u12+u13=k+-kAHcos(H+U)+cos2(H+U)2633(7),求式　　上式中只有u12是长期项,即H的不断增加,可能引起小量E的积累,下面把主要项u12代入式(7)的近似特

6、解2du22+u2=2(Asin(H+U)+k)〔-kAHcos(H+U)〕dH22=-kAHsin2(H+U)-kAHcos(H+U)(16)2du22对方程2+u2=-kAHsin2(H+U)(17)dH3有形如u21=(a1H+b1)cos2(H+U)+(c1H+d1)sin2(H+U)(18)求导得′3u21=a1cos2(H+U)+c1sin2(H+U)+2(c1H+d1)cos2(H+U)-2(a1H+b1)sin2(H+U)″3u21=-4a1sin2(H+U)+4c1cos2(H+U)-4(a1H+b1)cos2(H+U)-4(c1H+d1)sin2(H+U)式(18)

7、、(19)代入式(17)得-4a1sin2(H+U)+4c1cos2(H+U)-3(a1H+b1)cos2(H+U)-3(c1H+d1)sin2(H+U)2=-kAHsin2(H+U)a1=0-4a1-3d1=042b1=kA4c1-3b1=09∴]2-3c1=-kA12c1=kA3-3a1=0d1=034212∴u21=kAcos2(H+U)+kAHsin(H+U)931998年(总第61期)　　　　　姜悦岭等:行星轨道方程的渐近解712du