牛顿图与奇异代数方程的渐近解

《牛顿图与奇异代数方程的渐近解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、牛顿图与代数方程的渐近解代数方程没有公式解。但是在时，我们可以想办法计算其近似解设代入看看情况这些项，哪些较大呢？我们可以选取不同的值进行尝试，麻烦而不得要领。我们看一看当固定时这些单项与原来单项之间的关系将方程中的单项式的指数坐标画出来，蓝色点就对应代数方程的各项。作斜率为的射线，与横轴的交点（褐色点）对应的各项。他们都是的常数项，因此都在横轴上。图上的所示意的斜率选择对于解方程来说是不合适的，因为无论怎么选择（０除外），都不能使方程关于的幂次减小。可见选择是最重要的。渐近求解方程的问题就是消除低阶小量

2、的问题，因此这些项中，能够形成低阶小量的都要考虑，这就是牛顿图标定的。我们可以采用牛顿图将单项式的指数坐标画出来，作凸多边形（最边上的取平行横轴的射线），就可以得到牛顿图。牛顿图上，凸多边形的每条边线都对应方程的一支渐近解，他们决定了这支渐近解的标度指数。凸多边形里边的点，无论按照那条边线作为平行线，其横轴上截距都不是最小的，因此对于任意一支解来说，都是高阶小量，可以在第一步近似中忽略他们。于是按照凸多边形边构造近似解，第一条边可知，，这个数就是第一条边在横轴上的截距，过其他点作平行线后与横轴截距都是高阶

3、小量。同时算系数可通过解得到这样第一支解的一级近似为同样第二支解对应求得第三支解实际上第一支（）解包含3个独立解，因为开立方有3个根，可以严格写为这也可从牛顿图上看出第一段线的纵坐标降低了3（从到），方程实际是3次方程，有3个根。同样第二支（）从牛顿图上看出纵坐标降低了3（从到），也包含了3个独立解，严格写为同样第三支（）从牛顿图上看出纵坐标降低了1（从到），也包含了1个独立解。因此7次方程包含了7个复解，其初级近似为{，，n=1,2,3；}实数解只有两个，其初步{，}我们继续追踪第一支解的高阶近似首先第

4、一支解，令代入方程，展开得到很多项，这是很费力气的，我们在牛顿图上观察，哪些项对于进一步修正起主要作用呢？展开后（关于的牛顿图）的项，在牛顿图上表现为新增加的点，看到新增加的点用褐色方块标出，可见新增加的点都在平行线与纵轴整数格线的交点上。值得注意的是第一边线延长与横轴交点不再出现（图中虚方块），这是因为这个解的常数项部分相抵消的缘故。注意斜率为的点仍然包含其他点，这是因为上面方程中还存在其他的这种斜率的解。我们最终当前解的高阶近似就不在在新的图上，改进的是牛顿图是加入了青色的线，代表新修正，从图上看出，

5、具体地计算时仅计算，和关于的一次项及的常数项就可以了，于是可得进一步令关于的牛顿图上，出现了褐色的点，新牛顿图对应褐色线段。对应于中关于的ｚ的较低幂次的一次项（从图上看出，其系数也是关于的一次项的系数，因此可以按照ｙ的表达式确定）和的较低幂次的常数项（从图上看出，其系数也是常数项的系数，因此可以按照ｙ的表达式确定），于是，得到于是这样可以继续计算解的精度，只需要将牛顿图上较大斜率的点逐步消去。对于每一支解，都可以按照这种方法提高精度。上面例子没有涵盖另外一些情况，即解可能为的负数指数情况比如，这个方程的牛

6、顿图包含了这样的项，，对应于在时，解趋于无穷大。第二步近似对应牛顿图如粉色线段从图上看出，对应于3次项的线性部分和一次项的常数部分，因此可得于是可以继续计算到相要的精度。对于，也有相应的牛顿图，这时需要消去的是的高次项。比如方程，牛顿图是靠左边的凸多边形。有两支解，对应两条折线第一支包含两个解，对应第二支包含一个解，对应进一步近似第一支解进一步的牛顿图变为黄线，于是得到因此进一步可得以此类推。总之，对于多项式方程，其牛顿图可以分成两部分，如图所示蓝色表示近似需要考虑的牛顿图，黄色表示近似需要考虑的牛顿图。