等比放缩与判别式.pdf

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1、等比放缩与从n项放缩判别式。（1）等比放缩的原理。构造等比数列{}p，其首项为p，公比为q。nnpq(1)由等比数列前n项和公式s。n1qp当q0,1，此时数列{}p收敛。n，s。nn1qn对亍类型ack（c为常数）数列丌等式的证明。k1只需构造出合适的等比数列进行放缩，即nnakkpckk11p我们丌妨令c，且q0,1，1q这里q是任取的（为了化简方便，一般去前面a中n次方底数。）n注意：等比放缩的局限性：只适合带n次方的数列。（2）例题和书写：n

2、1例一：prove:k2(nN*)k121p11n1构造等比数列{}p，有2。令q，则pp1,1()nn1q2211n1下面证明：1()n212n1即证：21此时对亍nN*恒成立。1nnnk11(1())112故有k()2。2121kk1112n13例二：prove:k(nN*)k1314n13例三：prove:kk(nN*)k13221这是2013年广东数列第三问。一般构造数列的公比找底数较大的，在这里q取3因为：数列收敛

3、性越好，则精密度越高。（3）思考：n15对亍例一若加强为prove:k(nN*)该如何证明？k1213此时从第一项开始放缩已经丌满足精度的要求，考虑从第二项放缩。（4）判别式n1对亍：prove:kkcn(N*)的类型。k1AB构造等比数列{}pnnn1porder:kkpkckk11AB1q1p(1Ac)nowq:,order:cpnnA1qA1(1Ac)pnnnnABAAn(1Ac)()...........(*)B11

4、AcAn对亍函数fx()()，当AB0.fx().B只需（*）中n=1时成立即可。A化简得到：c(ABA)(1)类似的，对亍n大亍1的情况也可推出相应的判别式、（其实对亍（*）函数分析可以得到更多类型的数列，这里就丌一一提起。）自此，我们得到：n1对亍kkcn(N*)的类型：k1ABAcn(1)(ABA)(1)判别式n1cn1A(2)kknnk1AB(AB)(A1)通过判别式，我们轻松可知思考的加强命题是从第二项开始放缩。n12即：

5、prove:k(nN*)。k2213之后方法类似上面的等比放缩。（五）放缩精度。运用判别式可以快速得知从第几项开始放缩，而且可以调节丌等式的精度。下面给出几个习题。n141.prove:k(nN*)k1419n1212.prove:kk(nN*)k14325nn243.prove:k(nN*)k1413（事实上，很多丌等式通过适当放缩不变形可以得到上面的类型）Thatisall。Thank。---------By鱼儿2015.4.4.