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1、.Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：2a1an(n1)n⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大（或缩小）n(n1)lg3lg52n(n1)⑶
2、利用基本不等式，如：lg3lg5()lg15lg16lg4；22⑷二项式放缩:nn01nn012(11)CnCnCn,2CnCnn1,(5)利用常用结论：Ⅰ.1的放缩：222kkk12kkk1Ⅱ.1的放缩(1)：111（程度大）22kk(k1)kk(k1)Ⅲ.1的放缩(2)：111111（程度小）222()kkk1(k1)(k1)2k1k1Ⅳ.1的放缩(3)：142(11)（程度更小）222kk4k12k12k1Ⅴ.分式放缩还可利用真（假）分数的性质:bbm和bbm(ba0,m0)(ab0,m0)aamaam记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看
3、b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.xⅥ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例：f(x)(x0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：1xf(ab)f(ab)。一．先求和再放缩1例1.an,前n项和为Sn，求证：sn1n(n1)1n1例2.an(),前n项和为Sn，求证：sn32二．先放缩再求和（一）放缩后裂项相消n112an(1)s2n例3．数列{an}，n，其前n项和为sn，求证：2（二）放缩后转化为等比数列。2{bn}b11,bn1bn(n2)bn3例4.满足：bnn（1）用数学归纳法证明：11111Tn...Tn（2）3b13b23b33
4、bn，求证：2;..三、裂项放缩n2n例5.(1)求的值;(2)求证:15.22k14k1k1k3例6.(1)求证:111711(n2)22235(2n1)62(2n1)111111(2)求证:2416364n24n(3)求证：1112(n11)12(2n11)23n例7.求证:6n111512(n1)(2n1)49n3n例8.已知a4n2n,2,求证:3.nTnT1T2T3Tna1a2an2四、分式放缩姐妹不等式:bbm和bbm(ba0,m0)(ab0,m0)aamaam记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然
5、.例9.姐妹不等式:111和(11)(1)(1)(1)2n1352n111111也可以表示成为(1)(1)(1)(1)2462n2n12462n和135(2n1)12n1135(2n1)2462n2n11113例10.证明:(11)(1)(1)(1)3n1.473n2五、均值不等式放缩例11.设S1223n(n1).n(n1)(n1)2n求证S.n22例12.已知函数f(x)1，a>0,b>0,若4，且f(x)在[0，1]上的最大值为1，bxf(1)1a252求证：11f(1)f(2)f(n)n.n122六、二项式放缩nn01nn01,2(11
6、)CnCnCn,2CnCnn1例13.设n1,nN，求证2n8.()3(n1)(n2)例14.a23n,试证明：.n1111n≤L4n2aaa412n七、部分放缩(尾式放缩)例15.求证:1114n1313213217例16.设111求证：a2.an1aaa,a2.n23n八、函数放缩n例17.求证：ln2ln3ln4ln3n5n6*.3(nN)n234362例18.求证:ln2ln3lnn2nn12,(n2)23n2(n1)例19.求证:111ln(n1)11123n12n九、借助数列递推关系例20.若a11,an1ann1,求证:1112(
7、n11)aaa12n例21.求证:113135135(2n1)2n212242462462n;..十、分类放缩例22.求证:111n1n23212;..仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfin
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