极限存在性证明的几种主要方法_陆永良.pdf

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1、２０１３年第３期湖州职业技术学院学报２０１３年０９月Ｎｏ．３．２０１３ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｚｈｏｕＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅＳｅｐ．２０１３极限存在性证明的几种主要方法＊陆永良１，嵇建峰２（１．平湖市城关中学，浙江平湖３１４２００；２．湖州职业技术学院，浙江湖州３１３０００）摘要：极限存在性的证明是学习数学分析的一项基本技能，它对理解和掌握数学分析的理论和方法是十分重要的。在对分散于数学分析中的极限存在性证明方法较系统地进行总结的基础上，给出了九种主要的极限存在性的证明方法。关键词：数列；函数；极限存在性中图分类号：Ｏ１７２．１文献标识码：

2、Ａ文章编号：１６７２－２３８８（２０１３）０３－００６０－０４ＭａｊｏｒＭｅｔｈｏｄｓｏｆＰｒｏｖｉｎｇＥｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆＬｉｍｉｔ１，ＪＩＪｉａｎ－ｆｅｎｇ２ＬＩＵＹｏｎｇ－ｌｉａｎｇ（１．ＰｉｎｇｈｕＣｈｅｎｇｇｕａｎＭｉｄｄｌｅＳｃｈｏｏｌ，Ｐｉｎｇｈｕ３１４２００，Ｃｈｉｎａ；２．ＨｕｚｈｏｕＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｈｕｚｈｏｕ３１３０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓａｂａｓｉｃｓｋｉｌｌｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ，ｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｌｉｍｉｔｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏ

3、ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄａｎｄｇｒａｓｐｔｈｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｖｉｄｅｓｎｉｎｅｍａｊｏｒｍｅｔｈｏｄｓｔｏｐｒｏｖｅｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｌｉｍｉｔｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙｓｕｍ－ｍａｒｙｏｆｐｒｏｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｎｌｉｍｉｔｅｘｉｓｔｅｎｃｅｄｉｓｐｅｒｓｅｄｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｌｉｍｉｔ极限是数学分析的基本概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。

4、数学分析中的几乎所有其他概念，诸如：连续、导数、微分、定积分、级数收敛性、多元函数偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分等，都直接通过极限理论得以严密化。极限是沟通常量与变量、有限与无限的桥梁。理解极限的精确定义，掌握极限存在性证明的方法都是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的基本问题。１７世纪牛顿和莱布尼兹虽然完成了微积分的创立工作，但由于他们对极限概念还十分模糊，所以在微积分的基本理论上存在着明显的不严密性的缺陷，在逻辑上也有漏洞，以至于引发了第二次数学危机；直到１９世纪，法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯等人的工作，给出了极限、收敛概念的精确定义，确立了以极限论为基础的数学

5、分析体系之后，才使微积分克服了逻辑上的困难，并使之建立在严格的理论基础之上。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。众所周知，极限在整个微积分学乃至整个数学学科的研究中都占有举足轻重的作用，几乎都直接或间接与极限有关。证明极限的存在的方法很多，本文将把分散于数学分析各章节中的理论和方法较系统地进行归纳，并针对证明极限的存在性这个中心问题的常用解题方法进行探讨。１极限存在性证明的几种主要方法极限存在性的证明是对数列极限和函数极限的存在性运用数学分析的定义和定理证明其收敛。依据不同的研究方法及所应用的数学工具，已有的极限存在性证明方法可大致分为九种，我们分别概述如下。＊收稿日期：２

6、０１２－１２－０４基金项目：湖州市２０１２年度自然科学资金项目（２０１２ＹＺ０６）；浙江省教育厅２０１２年度科研资助项目（Ｙ２０１２２３５１９）．作者简介：陆永良（１９６０－），男，浙江平湖人，中学一级，主要从事解析不等式研究；嵇建峰（１９８７－），男，浙江湖州人，湖州职业技术学院建筑工程分院教师，主要从事数学教育研究。第３期陆永良，等：极限存在性证明的几种主要方法６１１．１利用极限的基本定义证明定义１：设｛ｘｎ｝是一个数列，ａ是实数。如果对任意给定的ε＞０，总存在一个正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时都有｜ｘｎ－ａ｜＜ε，则称ａ是数列｛ｘｎ｝的极限，或者称数列｛ｘｎ｝收敛，且收敛于ａ，记作ｌｉ

7、ｍｘｎ＝ａ或ｘｎ→ａ（ｎｎ→∞［１］。→∞），这时也称极限存在定义２：设函数ｆ（ｘ）在ｘ０点附近（但可能除掉ｘ０点本身）有定义，又设Ａ是一个定数。如果对任意给定的ε＞０，一定存在δ＞０，使得当０＜｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜δ时，总有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）［１］。在ｘ０点的极限，记作ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）→Ａ（ｘ→ｘ０），这时也称函数ｆ（ｘ）在点极限存在ｘ→ｘ０类似地，不难给定一元函数的左极限和右极限、一元函数当自变量趋于无穷大时的极限、多元函数的极限