求数列极限的几种计算方法.pdf

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1、第1卷增刊铜仁学院学报2007年6月JournalofTongrenUniversity求数列极限的几种方法覃智高（铜仁学院数学系，贵州铜仁554300）摘要：众所周知，极限论包括数列极限、函数极限两类。本文针对数列极限的初等变形求极限、利用变量替换、两边夹定理、归结原则、定积分法、单调原理、级数展开式、斯笃兹公式等来讲述数列极限的几种求法。关键词：数列极限；初等变形；变量替换中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1673-9639(2007)S-0048-041．引言⎛1232()2n−12⎞极限是《高等数学》教学的重要环节，极限论是分例2：求lim⎜++

2、"+⎟n→∞⎜n3n3n3⎟⎝⎠析学的基础，极限问题是分析学的困难问题之一。极限的基本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键解：由作用，有关一元微积分学、二元微积分学、多元微积分S=12+22+32+"+n2=n()n+1()2n+1/6n学和级数等所有概念及一些基本思想均是利用极限的思想提出来的。数列极限又是极限的基础。同时涉及数列故极限的问题有很多，包括极限的求法、给定数列极限的22()21+3+"+2n−1证明、极限的存在等。以下我从八个方面来谈一谈数列2n()2n+1()4n+14n()n+1()2n+1=−极限的几种求法。66n()4n2−1=2．数

3、列极限的几种求法32．1．初等变形求极限∴对于某些较繁的数列{an}，可用初等数学的方法将⎡22−2⎤13(2n1)lim⎢++⋅⋅⋅+⎥其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限。n→∞⎢n3n3n3⎥⎣⎦例1：求极限lim(1−1)(1−1)"(1−1)n()4n2−1n→∞2232n2=lim3n→∞3n解：∵⎛41⎞=lim⎜−⎟111n→∞⎜33n2⎟⎝⎠(1−)（1−）⋅⋅⋅(1−)2232n24=1325n−1n+11n+13=(××××⋅⋅⋅×)=×2233nn2nn⎛n+c⎞c2t例3：已知lim⎜⎟=∫tedt，求常数c∴n→∞⎝n−c⎠−

4、∞111n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛c⎞lim⎜1−2⎟⎜⎜1−2⎟⎟"⎜⎜1−2⎟⎟n⎜1+⎟cn→∞⎝2⎠⎝3⎠⎝n⎠⎛n+c⎞⎝n⎠e解：左边=lim⎜⎟=lim=1n+11n→∞⎝n−c⎠n→∞⎛c⎞ne−c=lim×=⎜1−⎟n→∞2n2⎝n⎠收稿日期：2007-06-10作者简介：覃智高，贵州师范大学铜仁学院数学系2003级（1）班。专业：数学与应用数学。48覃智高：求数列极限的几种方法1c2t1⎡2cc2t⎤右边=∫td()e=⎢ce−∫tedt⎥⎛⎜cosα⋅cosα⋅⋅⋅⋅⋅cosα⋅sinα⎞⎟2−∞2⎣−∞⎦22nn=lim⎜222…⎟n→∞⎜α⎟=1c

5、e2c−1e2c=e2c⎛⎜c−1⎞⎟⎜sinn⎟⎝2⎠24⎝24⎠1sinα22c2c⎛c1⎞2nsinα1−a0由已知得：e=e⎜−⎟，=lim==⎝24⎠n→∞sinααarccosa02n5从而有c=为所求。22．3．两边夹定理求极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限4sinn的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数例4：求limn→∞1列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限+1−1n值存在，且等于它们的公共值。解：将所给式分母有理化，有例1：求44sin⎛1⎞sin⎛1⎞⎛12n⎞limn⎜+1+1⎟=4n⎜+1+1⎟=8lim

6、⎜++"+⎟n→∞1⎜n⎟1⎜n⎟n→∞⎜n2+n+1n2+n+2n2+n+n⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠nn为所求。解：∵2．2．利用变量替换求极限12n++⋅⋅⋅+有时，为了将已知的极限化简，转化已知的极限，可n2+n+1n2+n+2n2+n+n根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，≥1+2+⋅⋅⋅+n=n(n+1)n2+n+n2n(n+2)使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。1+an−112n例1：设−1

7、≤=nn2+n+12(n2+n+1)n→∞又∵（2）lim(a1⋅a2"an)n→∞n(n+1)n(n+1)1lim=lim=解：令a=cos∂，∂∈(0,π)，则n→∞2n(n+2)n→∞2(n2+n+1)201+a01+cosαα∴a1===cos22212n1lim(++⋅⋅⋅+)=n→∞n2+n+1n2+n+2n2+n+n2由此反复过程知：α2．4．利用数列的极限与函数的极限等值（归结原则）a=cos，()n=1,2,"n2n数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可微、于是（1）就变为：可积等优良性质，有时我们可以借助于函数的这些性质将α数列极限转化为函

8、数极限，从