高等数学第四章不定积分习题课.ppt

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1、第四章不定积分习题课一、不定积分的基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：(2)不定积分的定义：设为一个原函数，则在区间上，若则称是在上原函数。2．不定积分的性质(1)线性性质：(2)微分与积分运算：二、基本计算方法1．直接积分法首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。2．第一类换元法（凑微分法）：设，则3．第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换倒代换简单无理函数代换注意：式中回代。必须单调可导，对t作完积分后,要用反函数5

2、．有理函数的积分法：积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使4．分部积分法：或变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，使之6．万能公式法：如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能公式。令则从而☆在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。三、典型例题、【例1】设是的原函数，求解：由于是的原函数，故令，则【例2】求不定积分解：利用不定积分的性质，可知【例3】求不定积分解：分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和

3、凑微然后可利用基本公式。分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，【例4】求不定积分解：【例5】求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分母要进行有理化，解：【例6】求不定积分分析：此题属于型，故凑解：【例7】求不定积分解：【例8】求不定积分分析：由于被积函数，不能直接利用基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数进行代数恒等变形为：或，再想到凑微分：或，然后进行计算。中含有另外，由于，不能直接计算，可以考虑换元或，然后再进行计算。解法1：因为所以解法2：因为所以解法3：令,则于

4、是【例9】求不定积分解法1：(倒代换）设则则【例10】求不定积分解法2：(三角代换)设则解：【例11】求不定积分分析：若取积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，显然可以利用分部先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。解：原式注意运算中综合使用不同方法往往更有效.]。【例12】求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先要令把根式去掉，然后选择合适的方法计算。另外，观察被积表达式的特点，由于所以可应用分部积分法计算。解法1：令，则所以应用分部积分法所以解法2：因为所以应用分部积分法【例1

5、3】求不定积分解：【例14】求不定积分分析：设，则由于中含有和，所以令或去掉根式，然后选择适当的计算方法。进行恒等变形然后运用基本积分公式就可以计算。另外，可对，于是解法2：因为所以，则解法1：令注：在本题的计算中同样可以选择其计算的复杂程度与选择相同。【例15】求不定积分分析：本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分的过程中正、负项抵消.解：【例16】设的一个原函数为，求解：由于为的原函数，故从而【例17】求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真分析：由于被积函数为有理函数，且为假分

6、式，所以首先采用拆项积分。解：设即得于是【例18】求不定积分分析：由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次是一次式，而分母的导数也是一次式，因此将分质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子子变成分母的导数形式，所以把分子拆成和8两部分，而分子可以凑微成，进而可以计算。解：【例19】求不定积分分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以首先想到用万能公式计算；(2)对被积函数进行恒等变形为：进行计算；就可以用换元：再利用(3)把被积函数进行恒等变形为：的关系进行计算.解法1：令，则，于是

7、解法2：由于被积函数可化为的函数，可设则，于是解法3：由于所以注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法3最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。(2)在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。