高等数学+第四章+不定积分

《高等数学+第四章+不定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章不定积分4.1不定积分的概念和性质4.2换元积分法和分步积分法4.3有理函数的积分数学中很多运算都存在逆运算，例如：加法与减少、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等等，都是互逆运算。求导运算也存在逆运算,这个逆运算就是本章所要讲的不定积分。现在先看不定积分中遇到的第一个概念。4.1.1原函数与不定积分的概念4.1不定积分的概念和性质例如定义4.1.1则称为在区间上的一个原函数.是的一个原函数.也是的原函数.问题(1)何种函数具有原函数?(2)函数若具有原函数,怎样写出原函数?4.1.1、原函数设f(x)是定义在某区间上的已知函数如果存在一个函数F(x)对于该区间上每一点都满足结

2、论:若函数在区间上连续,则存在可导函数使连续函数一定有原函数性质1若，则对于任意常数，原函数的性质性质2若和都是的原函数，则（为常数）不定积分的定义函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的不定积分，若则的不定积分为：定义4.1.2补例1求不定积分解因为所以补例3总之,补例2.求解.解当时,当时,不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线,称为积分曲线族.4.1.2不定积分的几何意义曲线:为任意常数)在(x0,y0)的切线的斜率为f(x0)yox设F(x)是f(x)的一个原函数,则称曲线y=F(x)为f(x)的一条积分曲线.如果把这条积分曲线沿y轴平行移动C个单位,就得到f(x)的全

3、体积分曲线y=F(x)+C,叫做f(x)的积分曲线族,而f(x)正是积分曲线的斜率.因为不论常数C取何值,都有［F(x)+C］'＝f(x),所以在每一条积分曲线上横坐标相同的点处其切线都是彼此平行的,如图所示.补例4.设曲线通过点(1,2),且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解即,由题意知又曲线通过点(1,2),此曲线的方程为设所求曲线方程为：xyo1124.1.3不定积分的基本性质(1)(2)求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.结论等式成立.证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）4.1.4基本积分表例4.1.4求解例4.1.5求解例4.1.6求解例4.

4、1.7求解例4.1.8.求解补例6.求解补例7.求解补例8.求解补例9.求解补例10.求解补例11.求解补例12.求解例4.1.9求解例4.1.10求解例4.1.11求解补例13求解例4.1.12.求解补例14.求解补例15.求解补例16.求解补例17.求解思路点拨：利用添项、减项法和分项积分法，使其变简单，再直接积分。解决方法利用复合函数，设置中间变量.用变量代换的方法来计算不定积分过程令1.第一类换元法（凑微分法）4.2.1换元积分法问题定理4.2.1凑微分法的关键步骤在于有原函数和可导,如果积分可化为的形式,且设则有化为换元法公式（凑微分法）例4.2.1求解先利用导数把已给不定积分

5、化为由于观察重点不同，所得结论不同.务必熟记基本积分表和一些凑的技巧.例4.2.2例4.2.3例4.2.4求解例4.2.5补例1补例2补例3补例4补例6补例5补例7补例8补例9补例10例4.2.8证明:(1)(2)(3)说明以上三式可作为公式用.(1)证(2)(3)补例11补例12例4.2.8解证明公式法二补例13解1证明公式解2补例14解补例15解补例16求解补例17求解补例18.求解例4.2.10求(1)解补例19解补例20解补例21解法1解法2说明1).用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换.2).有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.补例23补例

6、22例4.2.10求(1)解例4.2.10求(2)解例4.2.11解2.第二类换元法证定理4.2.2(第二换元法)(变量代换法)设单调可微,且若则还原作代换补例24有理代换例4.2.12求解令补例25.求解令例4.2.13求解令补例26(公式19)求解设三角代换解例4.2.14设三角代换由变换x=asint可得图12-2，所以axtaxt由变换x=atant可得图12-2，所以例4.2.16解设axt例4.2.17求解设x=asect,(0

7、积函数中分母含x的幂次比较高时，用倒代换来进行变量替换往往要简单一些。令：x=1/t(t>0)作变量代换，这样的代换叫做倒代换。例4.2.18补例28补例29求说明:本题可用三角代换倒代换解令解因为例4.2.19设函数定义于(0,1)上,且满足求的表达式.令则得到从而4.2.2分部积分法设函数具有连续导数，由得两边求不定积分，得应用分部积分法的关键在于u,v的选择是否恰当的选择原则是:1).由基本凑微分公式要易求得;2).要比易求.