《高等数学》第四章不定积分（电子讲稿）

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1、第四章不定积分一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数.f(x)的导数或微分，能否求111/(X)?这是我们这一章要讨论的问题.第一节不定积分的概念与性质—、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间/上,可导函数F(x)的导数为f(x),即对任意xgI,都有或dF(x)=f(x)dx,尸⑴=f(x)则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数.例如，因为VjcgR,(sin兀)'=cosx,(arcsin兀)'=(】,所以ar

2、csinx是/】所以sinx是COSX的一个原函数；Vxg(-1,1),在区间(-1,1)内的一个原函数.由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数Fx),求原函数尸(兀)・事实上，研究原函数需要解决下面两个问题：(1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？关于第一个问题，我们用原函数存在定理冋答.定理(原函数存在定理)如果函数/(兀)在区间1上连续，则/(兀)在区间I上一定有原函数,即存在区间/上的可导函数F(x),使得对任一兀w/,有Fx)=/(x).将在第五章给出此定理的

3、证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数.关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一.设F0)是函数f(x)的一个原函数,即Fx)=f(x),则[F(x)+C]z=f(x)，其中C是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个.不妨假设F(力与G(x)是函数/(兀)的任意两个原函数，则有F'(x)=f(x),Gz(x)=f(x)•从而有(F(x)-G(x)Y=0,B卩F(x)-G(x)=C・因此，f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说f(x)的原函数的全体可表定义2示为F(

4、x)+C,其屮C为任意常数.据此，我们给出下述定义.在区间/上，/(x)的带有任意常数项的原函数，称为/(兀)在区间/上的不定积分，记作J7(x)d兀.其中记号J称为积分号，/(对称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式,X称为积分变量.由不定积分的定义，如果FS)为/⑴的一个原函数，贝I」ff(x)dx=F(x)+C(C为任意常数).••例1因为(+)'=3兀2,所以j3x2dx=x3+C.••例2因为当兀>0时,(lnx)z=丄；当兀V0时,[lnC-x)]^—(-x)z=丄，所以(ln

5、x

6、)z=

7、X-xXX因此有J-dx=ln

8、x

9、+C.••例3设曲线过点(e2,3),且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的方程.解设所求曲线方程为y=f(x),其上任一点(兀,y)处切线的斜率为业二丄，从而dxxy=[—dx=lnx+CtJx由/(c2)=3,得C=1,因此所求曲线方程为y=ln

10、x

11、+l.在直角坐标系中，/(x)的任意一个原函数F(x)的图形我们称为/(兀)的一条积分曲线，不定积分J/(x)dx在几何上表示一簇积分曲线，这些积分曲线可由某一条积分曲线沿)，轴方向平移得到，它们在

12、横坐标相同点处的切线有相同的斜率，因而切线相互平行.••例4一物体由静止开始作直线运动，『秒末的速度是3t2(m/s)，问：(1)在3s末,物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完216m需多少时间？解设物体的位置函数为5=s(t),则—=v(r),即—=3r2,从而s訂3尸dr=F+C,d/d/」由f(0)=0,得C=0,于是有s=t3.当？=3时,物体与出发点之间的距离5(3)=?=27(m)；当5=216时，f=返忆=6(s).由原函数与不泄积分的概念可得:~^fMdx=f(x)或dj/(x

13、)dx=/(x)dx；jF,(x)dx=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C.由此可见，微分运算与不定积分运算互为逆运算，对函数/(力先积分再微分，作用互相抵消；对函数F(x)先微分再积分，其结果只差一个常数.二、基本积分表因为不定积分运算是导数运算的逆运算，所以不难从导数公式得到相应的积分公式.现将一些基本积分公式罗列如下，通常称Z为基本积分公式表.⑴J/cdx=Aa+C(R为常数)，(2)[xpdx=———+C(“H-1J〃+l⑶f—=ln

14、x

15、+C,(4)[——=arctanx+C,JX

16、+x2⑸[f兀，=arcsinx+C,(6)fcosxdx=sinx+C,JVl-x2<⑺Jsinxdx=-cosx+C,(8)[d：=fsec2xdx=tanx+C,3COS厶XJ⑼f¥=fcsc2%dx=-cotx+C,」sirTx」(10)j*secxtanxdx=secx+C,(11)jcscxcotxdx=-cscx+C,x(13)axdx=—+Ct」a(15)jchxdx=shx+C.以上公式可以联系求导公式记忆,(12)