高等数学第四章不定积分教案

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1、高等数学教案§4不定积分第四章 不定积分知识结构图:教学目的要求:1.理解原函数与不定积分的概念,理解两者的关系,理解不定积分与导数的关系;掌握不定积分的几何意义与基本性质。2.理解与掌握积分的基本公式,掌握不定积分的基本运算,会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法(代数换元)、分部积分法求不定积分。3.了解不定积分在经济问题中的应用。教学重点:1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质与基本积分公式3.直接积分法4.换元积分法5.分部积分法教学难点:1.不定积分的几何意义2.凑微分法、分部积分法求不定积分第一节 不定积分的概念

2、与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。【教学目的】理解原函数与不定积分的概念,理解不定积分的几何意义;理解并掌握不定积分的基本性质;熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。【教学重点】1.原函的概念;2.不定积分的概念;3.不定积分的几何意义;4.不定积分的基本性质;5.不定积分的基本公式;6.直接积分法计算不定积分。【教学难点】1.理解不定积分的几何意义;2.记忆不定积分公式。【教学时数】2学时【教学进程】16高等数学教案§4不定积分一、原函

3、数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是:已知一个函数,求这个函数的导数;在现实生活中往往有:已知一个函数的导数,求原来这个函数的问题,如:①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为,求此曲线的方程。②已知某产品的边际成本,要求该产品总成本的变化规律.1.原函数定义定义4.1设是定义在区间内的已知函数.如果存在可导函数,使对于任意的,都有或则称函数是函数的一个原函数。例1指出下列函数的原函数:①②③   ④教师将举例分析:如,则是在R上的一个原函数。,则是的一个原函数。教师再问:(1)是否所有的函数都有原函数?什么样的函数才有

4、原函数存在呢?在此,我们不作讨论.我们只给出一个重要的结论.结论:如果函数在某区间上连续,则其原函数一定存在(2)是不是在R上的一个原函数呢?学生回答:是(3)提出一个函数若存在原函数,则有几个呢?引入2.原函数个数定理4.1 如果函数是的一个原函数,则也是的原函数,且的所有原函数都具有的形式(为任意常数).(二)不定积分的概念教师指出:在以上的分析中我们看到一个函数有原函数存在,则有无数多个,它们都可以表示为的形式,我们把它叫做的不定积分。1.不定积分定义定义4.2如果函数是的一个原函数,则称的全体原函数16高等数学教案§4不定积分(为任意常数

5、)为的不定积分,记作其中称为积分号,称为被积函数,称为积分表达式,称为积分变量,称为积分常数.例2求下列函数的不定积分:①   ②  ③2.不定积分几何意义提问:不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢?观察图4-1,根据不定积分的定义,具有这样的性质:结论:表示的是一族曲线,其中任意一条曲线都可以由曲线沿轴上、下平移得到.这积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的(如图4-1所示)。例3已知某曲线上一点(-1,2),且过曲线上任意一点的    切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程课堂练习(一):求下列函数的一个原函数与不定

6、积分:①②  ③   3.不定积分的性质提问:若对于任意的,,那么,性质1(积分运算与微分运算互为逆运算)或或性质2(不定积分的运算法则)两个函数代数和的不定积分,等于这两个函数不定积分的代数和,即推广:有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和,即16高等数学教案§4不定积分性质3(不定积分的运算法则)被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即()4.不定积分的基本公式设想:导数运算与积分运算是互为逆运算,那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式?结论是肯定的,师生配合,根据导数基本公式,以及例1、2和课堂练习(一)

7、得如下不定积分公式:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.利用基本积分表和不定积分的性质,可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形,再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果,这样的积分方法,叫做直接积分法.例4 求解             例5求解例6求解 16高等数学教案§4不定积分     例5求解例8求解例9求解例10求解 课堂练习(二):求下列不定积分①   ② ③  ④本堂课小结:主要内容:原函数、不定积分的概念;不定积分的性质与运算法则;直接积分法。重点:不定积分性质与基本公式,直接积分法。难

8、点:经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。第二节 换元积分法【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。【教学目的

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