高数 第二节 多元函数的基本概念.ppt

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1、推广第七章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第七章第二节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念一、多元函数的概念机动目录上页下页返回结束1.平面点集有序数组(x，y)所对应的平面点的集合称为平面点集。例如，{(-10,2),(-1,0),(0,0),(4,-6),(10,8)}是平面点集，在xOy平面上表示5个点的集合；集合{(x,y)

2、-1≤x≤2,0≤y≤2}是平面点集，在xOy平面上表示一个长方形及其四边。2.邻域点集称为点P0的邻域.例如

3、,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可

4、能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域机动目录上页下页返回结束整

5、个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无4.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即机动目录上页下页返回结束一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.的距离记作中点a的邻域为机动目录上页下页返回结束规定为与零元O的距离为5、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束定义1.设非空点集点

6、集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作机动目录上页下页返回结束例3.求函数解:要使函数的定义域。于是所求定义域为在xOy平面上D表示圆周以及圆周内的全部点的平面集合。机动目录上页下页返回结束有意义，对于点必须满足例4.求函数解:要使函数的定义域。于是所求定义域为在xOy平面上D表示在直线的下方但不包含此直线的半平面。机动目录上页下页返回结束有意义，对于点必须满足例5.求函数解:要使函数的定义域。于是所求定义域为机动目录上页下页返回结束有意义，对于自变量必须同时满足在

7、xOy平面上，D表示以原点为圆心，半径为1和2的同心圆所围成的（包含内圆，不包含外圆）圆环。例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球二、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数,总存在正数,切例6.设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证例7.设求证：证：故总有

8、要证机动目录上页下页返回结束若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例8.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束例9.求解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故机动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例8知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在

9、D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n