大学高数课件 6.1第一节 多元函数的基本概念.ppt

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1、推广第六章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分学一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结第一节多元函数的基本概念1.定义映射f:DR称为定义在D上的n元函数,设非空点集DRn,记作点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数一、多元函数的概念例1：求下列函数的定义域说明：函数的定义域应该用集合表示.例3已知求.二元函数也有复合函数例4已知求.例5例2设二元函数的图形：空间点集{(x,y,z)

2、z=f(x,y),(x,y)D}称为二元函数的图形,一般为空间曲面

3、.二元函数的图形通常是一张曲面.例如,2、平面的有关概念1)邻域设P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点,是某一正数,与点P0(x0,y0)距离小于的点P(x,y)的全体,称为点P0的邻域,记为U(P0,),(圆邻域)P0点的去心邻域,记为说明：若不需要强调邻域半径,也可写成U(P0).点P0的去心邻域记为（2）内点、边界点和聚点1.内点是聚点；说明：2.边界点可能是聚点；例3)开集与闭集设点集ER2若E中每一点都是内点,则称E是R2中的开集.若E的余集Ec是R2中的开集,则称E是R2中的闭集.(若EE,则称E为闭集)例如即为开集．即为闭集．既

4、非开集也非闭集.4)区域、闭区域设非空点集DR2,若D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通的.连通的开集称为开区域,简称区域;开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如开区域闭区域有界闭区域；无界开区域．例如，（5）有界集和无界集n维空间n维空间的记号为说明：二、二元函数的极限1.二元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（洛必达除外）例3：求下列极限例4求证证例5求极限解ex:求极限有界变量乘无穷小量夹逼法则例6(1)证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．

5、例6(2)证明不存在．确定极限不存在的方法：[方法二]点P(x,y)沿某条特殊路径趋向于P0(x0,y0),若极限值不存在,则可断言极限不存在.[方法一]点P(x,y)沿不同路径趋向于P0(x0,y0),若极限值存在但不相等,则可断言极限不存在.点P(x,y)沿某些特殊路径(如y=kx)趋向于P0(x0,y0),若极限值与k有关,则可断言极限不存在.如作业P14三.二元函数的连续性若f(x,y)在区域D内点点连续，则称f(x,y)在D内连续。多元初等函数：由常量及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等

6、函数在其定义区域内是连续的．例7讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可取到最大和最小值。（1）最大值和最小值定理（2）介值定理设f(x,y)在有界闭区域D上连续，M,m分别为最大（小）值，则（3）有界定理有界闭区域D上的多元连续函数必定有界．多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取