同济第六版 高数 多元函数的基本概念课件.ppt

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1、zhouq第九章多元函数微分学及其应用第1节多元函数的基本概念一、多元函数的概念1、邻域2、区域3、二元函数二、多元函数的极限三、多元函数的连续性（1）邻域一、多元函数的概念(以二元为例)例如：点(0，2)的0.5邻域如图所示(0，2)0.5简记为特记去心邻域：zhouqzhouq（2）区域例如：即为开集．21如图所示：zhouq连通的开集称为区域或开区域．例如（2）区域zhouq为有界闭区域；为无界开区域．例如，zhouq几点说明平面上的邻域、区域等概念可推广到一般空间以及n维空间中去；如在空间中：邻域

2、的定义式为：邻域的几何意义为半径为，球心在(x0，y0，z0)球体，如图：xyz在n维空间中：无几何意义zhouq（3）二元函数的定义1、类似地可定义三元及三元以上函数．定义：自变量定义域z的变化范围称值域因变量2、允许自变量变化的范围为定义域．zhouq例1求的定义域．解所求定义域为为使分子、分母有意义，需成立下式zhouq如图所示，二元函数的图形通常是一张曲面.称点集：为二元函数的图形。3、二元函数的图形如二、多元函数的极限说明：1）定义中PP0的方式是任意的；2）二元函数的极限也叫二重极限3）二

3、元函数的极限运算法则与一元函数类似．zhouqzhouq例2求证当时，原结论成立．证明：zhouq例3求极限解：其中或≤︱y︱→0当y→0时注意：多元函数的极限求法较复杂，在此不多做研究；但部分极限可通过一元函数的极限的有关结论求得；zhouq例4证明极限不存在．证明：取其值随k的不同而变化，故极限不存在。注意：证明多元函数的极限不存在时；一般是取两种不同的路径求极限，若两个极限不相等，则由多元函数极限的定义知，该极限不存在；zhouq多元函数极限的推广在n维向量空间中，可将n元函数f(x1，x2，…，x

4、n)看成空间点P(x1，x2，…，xn)的函数，称为点函数，记为：f(P)三、多元函数的连续性定义：说明：同一元函数一样,关于连续：多元函数在P0点连续，即指极限成立关于间断：没有定义的点一定是间断点，多元函数的间断点可形成一条线；连续函数求极限等同求函数值zhouqzhouq例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解故函数在(0,0)处连续.zhouq例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．则极限在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最

5、大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理：（2）介值定理：闭区域上连续函数的性质多元函数的连续性：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的；注：以上结论都不作证明，可直接应用；关于连续函数的重要结论zhouqzhouq例７解：函数在(0，0)点无定义，但(分子有理化)(为连续函数)(求函数值)多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）小结多元函数的定义zh

6、ouq思考题解答:不能.例取但是不存在.因若取zhouq二.求下列函数的间断点练习题zhouq作业P62：3,5（偶）；6（奇）；7；8