矿大高数81多元函数的基本概念

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1、（1）邻域一、多元函数的概念第一节多元函数的基本概念第九章多元函数微分法及其应用1（2）区域例如，即为开集．23连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，4有界闭区域；无界开区域．例如，5（3）聚点1内点一定是聚点；说明：2边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．63点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．7（4）n维空间1n维空间的记号为说明：2n维空间中两点间距离公式83n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为

2、数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为9（5）二元函数的定义10类似地可定义三元及三元以上函数．1112例1求的定义域．解所求定义域为13二元函数的图形通常是一张曲面.14例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:1516二、多元函数的极限17设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)，都有成立，则称A为函数当，时的极限，记为定义118说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫

3、二重极限19例2求证证当时，原结论成立．2021例5求极限解其中222324例7证明不存在．证取其值随k的不同而不同，故极限不存在．2526三、多元函数的连续性27定义3282930例9讨论函数在(0,0)处的连续性．解31例9讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．32闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介

4、于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理33多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．3435