函数与方程思想（师）.doc

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1、高三数学复习专题（3）--------函数与方程的思想班级姓名知识回顾：考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查．”函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解，使问题得以解

2、决．函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．（一）基础自测1.若函数在上有零点，则的取值范围为解析：由函数得在上的最大值是，最小值是所以，解得.2．函数f(x)＝的零点个数为3[解析]　(1)当x≤0时，f(x)＝x2－2x－3，由f(x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.因为x≤0，所以x＝－1.此时函数f(x)只有一个零点．(2)当x>0时，f(x)＝lnx－x2＋2x，令f(x)＝0，得lnx＝x2－2

3、x，如图，分别作出函数y＝lnx与y＝x2－2x(x>0)的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f(x)有两个零点．综上知，函数f(x)的零点有三个．故选D.3.长度都为2的向量，的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，＝m＋n，则m＋n的最大值是解析：建立平面直角坐标系，设向量＝(2,0)，向量＝(1，)．设向量＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sin≤.4.设双曲线的一个焦点为，虚轴

4、的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是解析：不妨设因直线与该双曲线的一条渐近线垂直，故5.直线与圆相交于两点，且是直角三角形，则点之间的距离的最大值为解析：因是直角三角形，且则圆心到直线的距离：由点之间的距离为当答案为D.6.已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是▲．【答案】【点评】本题考查的是分段函数的运算，结合图形做题事半功倍题型1　利用函数与方程思想求解最值范围例1　设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式

5、f(x)g(x)<0的解集是__________．【答案】　(－∞，－3)∪(0,3)【点评】　(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解题型2利用函数与方程的转化关系处理方程根的问题[来源:Z。xx。k.Com]例2如果方程在上有解，求的取值范围【答案】【解析】设显然当且仅当属于的值域时，有解∵又由知∴易求的值域为故的取值范围是【点评】研究此类含三角、指数、对数等复杂方程解得问题，通

6、常分离参数构造函数，将方程有解转化为求函数的值域题型3利用函数与方程的转化关系处理数列问题例3已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．【答案】（1）an＝2n.（2）.(2)因为Sn＝n(n＋1)，【点评】　(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；[来源:学科网ZXXK](2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的【

7、解析】式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．题型4利用函数与方程的转化关系处理解析几何问题例4已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；[来源:学科网ZXXK](Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.(ⅰ)证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；(ⅱ)当最小时，求点T的坐标．【答案】（1）＋＝1.；（2