2018版高中数学第二讲参数方程学案新人教A版选修.doc

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1、第二讲参数方程一　曲线的参数方程1　参数方程的概念2　圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.[知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示　联系x，y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.[预习导引]1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t

2、的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆O上作均速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程普通方程参数方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(θ为参数)要点

3、一　参数方程的概念例1　已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3，4)在曲线C上.(1)求常数a的值；(2)判断点P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？解　(1)将M(－3，4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.(2)由(1)可得，曲线C的参数方程是把点P的坐标(1，0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上.规律方法　点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C的普通方程

4、f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在.跟踪演练1　已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A(2，0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解　把点A(2，0)的坐标代入，得cosθ＝1，且sinθ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得

5、θ＝0，因此点A(2，0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B代入参数方程，得∴又0≤θ＜2π，∴θ＝π，所以点B在曲线C上，对应θ＝π.要点二　圆的参数方程及其应用例2　设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝＜3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d＜，故满足题意的点有2个.答案　B规律方法

6、　1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2　已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.解　由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，设(θ为参数).则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6sin.∵－1≤sin≤1，∴11－6≤x2＋y2≤11＋6.∴x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.要点三　参数方

7、程的实际应用例3　某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2000m，水平飞行速度为v1＝100m/s，如图所示.(1)求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10m/s2)解　(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得即令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)，所以飞机投弹ts炸弹的水平位移为100tm，离地面的高度为(2000－5t2)m，