高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程互动课堂学案 新人教A版选修.doc

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1、一　曲线的参数方程互动课堂重难突破　　本课的重点是曲线的参数方程的概念、圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化;难点是对参数方程的理解以及参数方程与普通方程互化的等价性.一、参数方程的概念1.曲线的参数方程的实际意义及其必要性.在日常生活和工农业生产中，很多时候都会涉及到曲线的参数方程，比如物理学中的水平抛出的物体的运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与抛出的时间有着密切的关系；再比如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然

2、像以上两种情形自然会去考虑以时间作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息.此时用参数方程来描述运动规律，常常比用普通方程更为直接简便.有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解.由此可见，曲线的参数方程是从实际生活中抽象出来的，并非人们的想当然，是现实生活的某个方面的反映，但又不是简单的生活再现，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产.2.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的

3、函数(※),并且对于t的每一个允许值,由方程组(※)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(※)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.参数是联系变数x、y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数.3.曲线的参数方程的特点曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个

4、参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取.一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x、y的相互关系比较明显，容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.例如可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角、动直线的斜率、倾斜角、截距等.有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普

5、通方程.二、圆的参数方程1.(θ为参数),这是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时,OM0转过的角度,如图.由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.再例如,上图中圆的参数方程还可为x=rcosωt,y=rsinωt(t为参数).其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).2.一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式.形式不同的参数方程,它们表示的曲线却可以是相同的.注意:在建立曲线的参数方程

6、时,要注明参数及参数的取值范围.3.其实对于圆的参数方程的形式完全可以和同一个角的三角函数之间的关系sin2θ+cos2θ=1来类比考虑，进行换元即可得到相应圆的参数方程.即圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，可以先将该方程化为()2+()2=1，然后令于是就得到该圆的参数方程为(θ为参数).由此可见，对于圆的参数方程来说，有多种不同的表现形式，有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆，这时可考虑通过消去参数转化为普通方程,从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑).三、参数方程与普通方程的

7、互化1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x、y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.2.在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程.这都是基于对曲线的更好的研究，有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决.在将二者互化的过程中

8、，要注意互化前后二者的等价性，注意其中的曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减少；否则它们所表示的曲线就不是同一曲线，从而走上歧途，不能真正解决问题(注意:不是所有的参数方程都可以转化为普通方程).曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式.在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质,就灵活地选用相