高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程课堂探究学案新人教a版选修4

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1、一　曲线的参数方程课堂探究探究一曲线的参数方程引入参数θ后，根据圆的中点弦的性质结合变量x，y的几何意义，用半径a及参数θ表示坐标x，y，即可得出曲线的参数方程．【例题1】经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0(a＞0)的弦，求这些弦的中点的轨迹的参数方程．思路分析：根据题目的条件，选取恰当的参数，联系动点M(x，y)的坐标，进而写出曲线的参数方程．解：如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数，已知圆的圆心是O′(a,0)，连接O′M，那么O′M⊥OQ，过点M作MM′

2、⊥OO′，那么

3、OM

4、＝acosθ.所以所求轨迹的参数方程为.探究二圆的参数方程及应用利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见题型，是圆的参数方程的主要应用之一．【例题2】点A(3,0)是圆x2＋y2＝9上的一个定点，在圆上另取两点B，C，使∠BAC＝，求△ABC重心的轨迹方程．解：因为B，C在圆上，所以设B(3cosθ，3sinθ)，C，0＜θ＜.设重心为G(x，y)，则x＝＝1＋cos，y＝＝sin，消去θ得(x－1)2＋y2＝1.∵0＜θ＜，＜θ＋＜，－1≤cos＜，∴0≤x＜.故重心G的轨迹方程是圆(x－1)2＋y2

5、＝1中满足0≤x＜的一段圆弧．探究三参数方程与标准方程的互化化普通方程为参数方程，就是要把x，y分别用参数表示出来，所以我们要分别找出参数与x，y的关系，然后表达出来即可，另外要特别注意参数的取值范围；化参数方程为普通方程只要消去相应参数即可．【例题3】(1)指出下列参数方程表示什么曲线？①(t为参数)；②(t为参数)．(2)椭圆的方程为＋＝1，写出它的参数方程．解：(1)①(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆．②2＋

6、2＝cos2t＋sin2t＝1，即＋＝1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．(2)设＝cosθ，＝sinθ，则(θ为参数)，即为所求的参数方程．点评参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，根据t的取值范围推导出x，y的取值范围．探究四易错辨析易错点：忽视题中条件对θ角的限制【例题4】已知点P(x，y)满足方程x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)，试求x＋y的最大值和最小值．错解：令则x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin∈[－，]，所以x＋y的

7、最大值为，最小值为－.错因分析：忽视了已知条件x≥0，y≥0，应对角θ的范围加以限制．正解：设θ∈.所以x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin.因为θ∈，所以θ＋∈.所以sin∈，即sin∈.故x＋y的最大值是，最小值是1.