高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程课堂探究学案新人教a版选修4

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1、二　圆锥曲线的参数方程课堂探究探究一椭圆的参数方程的应用在求解一些最值问题时，可以用参数方程来表示曲线上点的坐标，利用正弦、余弦函数的有界性来解决问题，简化运算过程．另外，利用椭圆的参数方程可以解决一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹问题．【例题1】在椭圆＋＝1中有内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？解：椭圆的参数方程为(t为参数)．设第一象限内椭圆上一点M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形面积为S＝4xy＝4×5cost×4sint＝40sin2t.当t＝时，面积S取得最大值40，此时x＝5cos＝，y＝4sin＝2.因此，矩形在第

2、一象限的顶点为，此时内接矩形的面积最大，且为40.探究二双曲线的参数方程的应用1．利用双曲线的参数方程可进行三角代换，从而将有关问题转化为三角函数问题求解．2．直线与双曲线位置关系的综合题，可考虑利用双曲线的参数方程设元，再探求解题方法．【例题2】如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明：

3、PF1

4、·

5、PF2

6、＝

7、OP

8、2.思路分析：设P，证明等式两边等于同一个式子即可．证明：设P，∵F1(－，0)，F2(，0)，∴

9、PF1

10、＝＝，

11、PF2

12、＝＝.∴

13、PF1

14、·

15、PF2

16、＝＝－1.∵

17、OP

18、2＝＋tan

19、2φ＝－1，∴

20、PF1

21、·

22、PF2

23、＝

24、OP

25、2.点评利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．探究三圆锥曲线参数方程的应用利用抛物线的参数方程求动点的轨迹是常见的题型和方法，方法明确，运算简捷，要认真体会并应用．【例题3】设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P分M0M的比为2∶1，求点P的轨迹方程．解：如图，设M(2t2,2t)，P(x，y)，∵P分M0M的比为2∶1，∴(t为参数)．消去参数t，得y2＝x＋，故点P的轨迹方程为y2＝x＋.探究四易错辨析易错点：混淆φ的意义【例题4】已知

26、P为椭圆＋＝1上一点，且∠POx＝，求点P的坐标．错解：设点P的坐标为(x，y)，如图所示，由椭圆的参数方程得即P的坐标为(2,3)．错因分析：椭圆(φ为参数)和圆(φ为参数)中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M(x，y)所对应的角∠xOM，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．正解：设

27、OP

28、＝t，点P的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝，所以点P的坐标为.