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《高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程课堂导学案新人教a版选修4_4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 圆锥曲线的参数方程课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹【例1】已知A、B分别是椭圆=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.解析:本题有两种思考方式,求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式,从而予以求解.解：由动点C在该椭圆上运动,故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(-6,0)、B(0,3).由重心坐标公式可知由此消去θ得到+(y-1)2=1,即为所求.温馨提示本题的
2、解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷.各个击破类题演练1已知双曲线=1(a>0,b>0)的动弦BC平行于虚轴,M、N是双曲线的左、右顶点.(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程;(2)若P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.(1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ),则点C(asecθ,-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),∴直线MB的方程为y=(x+a),直线CN的方程为y=(x-a).将以上两式相乘得点P的轨迹方程为=1.4(2)证明:因为P既在
3、MB上,又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=,而x2=asecθ,所以有x1x2=a2,即a是x1、x2的比例中项.变式提升1在直角坐标系xOy中,参数方程(t为参数)表示的曲线是___________.解析:t=代入y=2t2-1得y=2()2-1,即(x-1)2=2(y+1).答案:抛物线二、利用参数方程求坐标【例2】在椭圆7x2+4y2=28上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.解：把椭圆方程化为=1的形式,则可设椭圆上点A坐标为(2cosα,7sinα),则A到直线l的距离为d=(其中β=ar
4、csin).∴当β-α=时,d有最小值,最小值为.此时α=β-,∴sinα=-cosβ=,cosα=sinβ=.∴A点坐标为(,).温馨提示用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的.类题演练2椭圆(θ为参数)的左焦点的坐标是__________.解析:a=4,b=3,∴c=.∴坐标为(,0).答案:(,0)变式提升2在椭圆=1(a>b>0)的第一象限的4上求一点P,使四边形OAPB的面积最大,并求最大面积.解析:如图,将四边形OAPB分割成△OAP与△OPB,则P点纵坐标为△OAP的OA边上的高,P点横坐标为△OPB的OB边上的高
5、.解:设P(acosθ,bsinθ),S四边形OAPB=S△OAP+S△OPB=absinθ+abcosθ=ab(sinθ+cosθ)=absin(+θ).当θ=时,四边形OAPB面积最大,最大面积为ab,此时,P点坐标为(a,b).三、范围及最值问题【例3】圆M的方程为x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0).(1)求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径;(2)当R固定,α变化时,求圆心M的轨迹,并证明此时不论α取什么值,所有的圆M都外切于一个定圆.思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真
6、正在变,而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解:(1)由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2,故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα),半径为R.(2)当α变化时,圆心M的轨迹方程为(其中α为参数),两式平方相加得x2+y2=4R2,所以圆心M的轨迹是圆心在原点,半径为2R的圆.由于=2R=3R-R,=2R=R+R,所以所有的圆M都和定圆x2+y2=R2外切,和定圆x2+y2=9R2内切.类题演练3曲线C:(θ为参数)的普通方程是,如果C与直线x+y+a=0有________公共点,那么实数a
7、的取值范围是_________.解析：参数方程消去θ得x2+(y+1)2=1.曲线C与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径长,即≤1.∴1-≤a≤1+.4答案:x2+(y+1)2=11-≤a≤1+变式提升3设a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是________.解析:∵a2+2b2=6,∴=1.设(θ为参数),∴a+b=cosθ+sinθ=3sin(θ+φ),其中cosφ=,sinφ=,即a+b的最小值是-3.答案:-34
