高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程互动课堂学案新人教a版选修4

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1、三　直线的参数方程互动课堂重难突破　　本课时重点是对直线参数方程的理解,关键是理解参数t的几何意义,难点是应用直线的参数方程解决相关问题.一、直线参数方程的意义相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征.判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式，方便运算.又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷.用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来，特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考

2、空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式，使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养.二、直线参数方程的形式对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程.例如，对于直线普通方程y=2x+1，如果令x=t即可得到参数方程(t为参数)；如果令x=2t则得到参数方程(t为参数).这样随便给出的参数方程中的参数t不具有一定的几何意义,但是在实际应用中也能简化某些运算.而过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为(t为参数)，我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任

3、意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量且cos2α+sin2α=1是标准参数方程的基本特征.三、直线参数方程中参数的几何意义1.对于一般的参数方程，其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量,也就是:(1)直线l上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值,即

4、M0M

5、=

6、t

7、.(2)若t>0,则M0M的方向向上;若t<0

8、,则M0M的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角.根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如x=2+tcos20°,y=-4+tsin20°(t为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°.但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了.例如判断直线x=tsin20°+3,y=-tcos20°(t为参数)的倾斜角,有两种方法:第一种方法:化为普通方程，求倾斜角.把参数方程改写成消去t，有y=-(x-3)cot20°，即y=(x-3)tan110°，所以直线的倾

9、斜角为110°.第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程令-t=t＇，则所以直线的倾斜角为110°.3.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法.给出直线的非标准式参数方程(t为参数)，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质,知其平方和为1，所以可以化为2(t为参数)，再近一步令,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值，并且把看成相应的参数t＇,即得标准式的参数方程(t＇为参数).由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中,具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用，求出

10、相应的t，再乘以即可继续使用参数的几何意义.四、根据直线的参数方程,判断直线间的平行和垂直等问题对于斜率存在的直线方程，主要从斜率的关系进行考虑，根据斜率进行判断.而直线的参数方程可以和普通方程之间进行互化，所以对于直线的参数方程也可以找到直线平行和垂直的关系.下面分别对直线参数方程的一般形式和标准形式进行说明.首先给出直线l1的参数方程(t为参数)和直线l2的参数方程(t为参数).先考虑直线斜率都存在(b1和b2都不为0)的情况:直线l1和l2的斜率分别为和.如果斜率相等即＝a1b2-a2b1=0且两条直线不重合时，直线l1和l2平行.如果斜率都不存在即b1=b2=0时

11、，如果两条直线不重合，则一定有直线l1和l2平行，代入上式仍然成立.所以可得一般性结论:如果不重合的两条直线l1和l2平行，那么a1b2-a2b1=0，反之也成立,即不重合的直线l1∥l2a1b2-a2b1=0.由两条直线垂直的条件知斜率存在的直线斜率乘积应为-1，即=-1a1a2+b1b2=0.并且易证，对于斜率不存在的情况上式也正确.所以若直线l1和l2垂直，则a1a2+b1b2=0，反之也成立,即l1⊥l2a1a2+b1b2=0.对于标准方程，由于容易看出直线的倾斜角，所以可以直接根据