2018年高考数学二轮复习 专题07 三角恒等变换与解三角形教学案 理.doc

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1、专题07三角恒等变换与解三角形和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(3)tan(α±β)＝.2．倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.3．半角公式(1)sin＝±；(2)cos＝±；(3)tan＝±；(4)tan＝＝.4．正

2、弦定理＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解．8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、

3、归类把握其规律.考点一　三角函数概念，同角关系及诱导公式例1、【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.【答案】【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.解析：基本法：将θ－转化为－.由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos>0，所以cos＝＝.tan＝tan＝－＝－＝－＝－.答案：－速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，∴θ＝α－，∴tan＝tan＝－tan.如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sinα＝可得，

4、BC＝3，AB＝5，AC＝4，∴∠B＝－α，∴tanB＝，∴tanB＝－.答案：－(2)若tanα＞0，则(　　)A．sinα＞0　　　　　　　B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0答案：C考点二　三角函数的求值与化简例2、(1)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(　　)A．－B.C．－D.解析：基本法：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin30°＝.答案：D(2)设α∈，β∈，

5、且tanα＝，则(　　)A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝速解法一：∵tan＝，由tanα＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.把β＝2α－代入＝＝＝tanα，题设成立．故选C.速解法二：＝＝tan∴tanα＝tan又∵α∈，β∈，∴∈，∴＋∈，∴α＝＋，∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.答案：C考点三解三角形例3、(2016·天津，3，易)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)A．1B．2C．3D．4【变式探究】(2016·课标Ⅲ，8，易)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则co

6、sA＝(　　)A.B.C．－D．－答案：C　解析：如图，作AD⊥BC于D.设AD＝1，∵B＝，∴BD＝1.又∵AD＝BC，∴CD＝2，∴AC＝，AB＝，∴sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝，∴cosA＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.考点四正、余弦定理的应用例4、【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求。【答案】(1)；(2)b=2（2）由，故又由余弦定理及得所以b=2.【变式探究】（1）在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.（2）在△ABC

7、中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解析】　(1)如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝.∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a