2018年高考数学一轮复习 专题25 平面向量的基本定理及其坐标表示教学案 文.doc

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1、专题25平面向量的基本定理及其坐标表示1.了解平面向量基本定理及其意义．　2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．　4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

2、(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

3、a

4、＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．高频考点一　平面向量基本定理的应用例1、(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A.B.C.D.(2)如图，

7、在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案　(1)D　(2)解析　(1)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，＝(1－k)＋，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.【感悟提升】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【变式探究】(1)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.(2

8、)(如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.(2)由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.答案　(1)a＋b　(2)高频考点二　平面向量的坐标运算例2、(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)(2)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝

9、λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)A.1B.2C.3D.4答案　(1)A　(2)D【方法规律】(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【变式探究】(1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)A.(7，4)B.(7，14)C.(5，4)D.(5，14)(2)已知向量a＝(2，1)，b＝

10、(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.答案　(1)D　(2)－3高频考点三　向量共线的坐标表示例3、(1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.(2)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且

11、AP

12、＝

13、BP

14、，则点P的坐标为________.解析　(1)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝

15、(－4，－8).(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，即解得所以点P的坐标为(8，－15).答案　(1)(－4，－8)　(2)(8，－15)【方法规律】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【变式探究】(1)已知点A(1，3)

16、，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)A.B.C.D.(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.解析　(1)＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.(2)＝(a－1