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1、平面向量的基本定理及其坐标表示（学案）一、知识点1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量和,作,,则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角.(2)范围：向量夹角θ的范围是,与同向时,夹角θ=;与反向时,夹角θ＝.(3)向量垂直：如果向量与的夹角是,则与垂直,记作⊥.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果,是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于平面内的任意向量,有且只有一对实数,使.其中,不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个正交基线性组合,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐
2、标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,作为基底.对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x,y,使得＝x+y.把有序数对叫做向量的坐标,记作,其中x叫做在x轴上的坐标,把y叫做在y轴上的坐标.②设=x+y,则就是终点A的坐标,即若,则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).3．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算设＝,＝,则,.(2)向量坐标的求法已知A,B,则.(3)平面向量共线的坐标表示设＝,＝,其中,则与共线ó.二、学法指导在解决具体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时,可以不去特意选
3、择两个基本向量,而可以用三边所在的三个向量,最后可以根据需要任意留下两个即可,这样思考问题要简单得多．向量的坐标表示,实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,4这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算．这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标法,即建立平面直角坐标系,将几何问题用坐标表示,通过向量的坐标运算解决问题．三、基础自测1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(－1,－2),C(3,1),且＝2,则顶点D的坐标为()A.(2,)B.(2,－)C.(3,2)D.(1,3)
4、2.已知向量a＝(2,3),b＝(－1,2),若ma＋nb与a－2b共线,则等于()A．－B．2C.D．－23.若点O(0,0),A(1,2),B(－1,3),且,,则点A1的坐标为________,点B1的坐标为________,向量的坐标为________．4.已知点A(1,－2),若点A,B的中点坐标为(3,1)且与向量a＝(1,λ)共线,则λ＝________.5.已知向量＝(3,－2),＝(－5,－1),则等于()A.(8,1)B.(－8,1)C.(4,－)D.(－4,)6.在四边形ABCD中,＝a＋2b,＝－4a－b,＝－5a－3b,其中a,
5、b不共线,则四边形ABCD是()A.梯形B．矩形C.菱形D.正方形三、典型例题题型一平面向量基本定理的应用例1、如右图,在△ABC中,点M是边BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC.AM与BN相交于点P,求AP:PM的值.[变式训练]设OA,OB不共线,P点在AB上,求证:且.4题型二平面向量的坐标运算例1.已知A(－2,4),B(3,－1),C(3,－4).设,,,且,.(1)求3+－3;(2)求满足=m+n的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标.[变式训练]已知向量＝(1,2),＝(x,1),＝＋2,＝2－,且∥,求实数x的值．题型三平面
6、向量解决共线问题例3．在△OAB中,＝,＝,AD与BC交于点M,设＝a,＝b,以a、b为基底表示.B[达标训练]如右图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标．题型四向量坐标运算与其他知识的综合D例4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F,其准线与x轴交于点A,过点A且斜率为k的直线l与抛物线C交于P,Q两点．求满足＝＋的点R的轨迹方程．九．【达标检测】1．设向量a＝(1,2),b＝(2,3),若向量λa＋b与向量c＝(－4,－7)共线,则λ＝________.42．已知点A(1,－2),若向量与a＝(2,3)同向,
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9、＝2,则点B的坐标为________．3．(2009·广东高考)已知平面向量a＝(x,1),b＝(－x,x2),则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第一、四象限的角平分线4．(2008广东高考)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若＝a,＝b,则＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b5．(2009江西高考)已知向量a＝(3,1),b＝(1,3),c＝(k,7),若(a－c)∥b,则k＝________.6．(2009·湖南高考)已知向量a＝(
10、sinθ,cosθ－2sinθ),b＝(1,2)．(1)若a∥b,求tanθ的值
