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1、科技信息○高校讲坛○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2008年第21期矩阵同时对角化赵俊锋(忻州师范学院专科部山西忻州034000)【摘要】矩阵对角化是高等代数研究的重点问题之一。对于一个矩阵对角化的问题,已得到了良好的研究结果。本文分析了一些矩阵对角化的矩阵类,进一步研究了两个矩阵同时对角化的条件,得到了一些结果。【关键词】矩阵;对角化;同时对角化Matrices’oppositeanglesimultaneously【Abstract】Thematrixoppositeangleisoneofkeyquestionsinadvancedalgebr
2、aresearch.Regardingamatrixoppositeanglequestion,itobtainsthegoodresult.Thispaperanalysessomematricesclassesofthematrixoppositeangle,studiestheconditionsfortwomatrices’oppositeanglesimultaneously,andobtainedsomeresults.【Keywords】Matrix,oppositeangle,oppositeanglesimultaneously.1.前言同时为对角矩阵,则称A
3、,B可同时相似对角化。定义2设矩阵A,B∈Pn×n,在当代社会,数学已经成为现代文化的重要组成部分。在高等代若存在n阶可逆矩阵P,使P'AP、P'BP同数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位。在矩阵理论、二次型及线时为对角矩阵,则称A,B可同时合同对角化。性变换等问题上矩阵对角化有广泛的应用。它是高等代数研究的主要定义3(1)设A∈Cn×n,若A*'=A,则称A为埃尔米特矩阵;内容,也是理论体系最完善的一部分。单个矩阵对角化的问题已在高(2)设A∈Cn×n,若A*'A=E则称A为酉矩阵;等代数或线性代数教材中有了系统的讨论。本文主要讨论两个或多个矩阵对角化问题,探讨一部分同时对
4、角化的矩阵类,进而加深对矩阵(3)设A∈Cn×n若A*'A=AA*'则称A为正规阵。理论的理解和认识,从而对于深化高等代数或线性代数的学习及问题3.2两个矩阵同时对角化的矩阵类的解决是有益的。定理1设A,B为n阶实对称矩阵,且A为正定矩阵,则A,B可2.预备知识同时对角化。2.1有关概念证明:因为A为n阶正定矩阵,则存在n阶可逆矩阵P使P'AP=定义1设矩阵A,B∈Pn×n,-1E,又因为B为n阶对称矩阵,于是P'BP仍为对称矩阵,存在n阶正交若存在n阶可逆矩阵P使PAP=B,则#λ&#λ&$1’)1’$λ’)λ’称A相似于B。若B为对角阵,即B=$2’则称A矩阵Q,Q-1(P
5、'BP)Q=)2’,而Q-1(P'AP)Q=Q-1EQ=E,$’)’$"’)"’$$’’))’’%λn(%λn(可相似对角化。#λ&)1’)’定义2设矩阵A,B∈Pn×n,若存在n阶可逆矩阵P,使P'AP=B,则记T=PQ,则T可逆,且T'AT=E,T'BT=)λ2’)’,即A,B#λ&)"’)1’))’’)λ’%λn(称A合同于B。若B为对角阵,即B=)2’则称A)’同时对角化。)"’))λ’’%n(定理2设A,B为n阶实对称半正定方阵,则存在n阶实可逆矩阵P,使T-1-1可合同对角化。AT,TBT同时为对角矩阵。2.2可对角化的矩阵类证明:因为A为n阶实对称半正定方阵,所以
6、存在n阶实可逆矩定理1n阶实对称矩阵可正交相似对角化。即若n阶实矩阵A#λ&)1’)’#λ&)λ2’)1’)’-1))λ’’阵P,使P-1AP=))"’’满足A=A'则存在n阶正交矩阵P,使PAP=)2’)λ’r)"’)’))λ’’)"’%n()0’%(,其中λi(i=1,2,⋯,n)为A的特征值。又因为B为n阶实对称阵,于是P'BP仍为对称矩阵,存在n阶正推论n阶实对称矩阵可正交合同对角化。#u&)1’定理2幂等矩阵(A=A2)一定可以对角化。)’)u2’)"’定理3任一正规矩阵N必酉相似于对角矩阵交矩阵Q,使Q-1')’(PBP)Q=)’,记T=PQ,+λ&)ur’)1’)
7、’)’)"’*)λ2’)0’U'NU=)’。%()"’))λ’’则T可逆,且A,B仍可同时合同对角化。%n(定理3设A,B为n阶实对称矩阵,且AB=BA,则A,B可同时正定理4复数域上所有的n阶循环矩阵可对角化。即若n阶循环矩交合同对角化。阵A,则存在可逆矩阵P,使A可对角化,并且P-1AP=diag{f(1),f(ξ),j(ξ2),⋯,f(ξn-1)},(f(1),f(ξ),j(ξ2),⋯,f(ξn-1))是A的全部特征值。证明:设n阶实对称矩阵A的特征值为λ1,λ2,⋯,λn,且其中λ1
